Какова длина траектории, если робот-чертёжник движется по ровной горизонтальной поверхности, нанося изображение

Задача: Длина траектории робота-чертежника

Описание:
Чтобы решить эту задачу, мы должны учесть, что каждая полуокружность имеет в два раза больший радиус, чем предыдущая. Также нам дано, что диаметр самой маленькой полуокружности составляет 1 метр.

У нас есть последовательность полуокружностей с разными радиусами, начиная с наименьшего радиуса и увеличиваясь в два раза с каждой последующей окружностью. Давайте обозначим радиус самой маленькой окружности как r. Тогда радиус второй полуокружности будет 2r, третьей - 4r, четвертой - 8r и так далее.

Для каждой полуокружности длина траектории составляет половину окружности, то есть π * R, где R - радиус полуокружности. Таким образом, длина траектории для каждой полуокружности будет \(\frac{π * R}{2}\).

Мы можем выразить длину траектории как сумму длин траекторий каждой полуокружности: \(L = \frac{π * r}{2} + \frac{π * 2r}{2} + \frac{π * 4r}{2} + \ldots\)

Каждое слагаемое в этой сумме образовано геометрической прогрессией с первым членом \(a = \frac{π * r}{2}\) и знаменателем \(q = 2\).

Формула суммы бесконечной геометрической прогрессии имеет вид \(S = \frac{a}{1-q}\). В нашем случае, используя эту формулу, мы получим:

\[L = \frac{\frac{π * r}{2}}{1-2} = \frac{π * r}{2} * -1 = -\frac{π * r}{2}\]

Однако, поскольку длина траектории не может быть отрицательной, мы примем только положительное значение:

\[L = \frac{π * r}{2}\]

Заметим, что нам дано, что диаметр самой маленькой полуокружности составляет 1 метр, что означает, что радиус наименьшей полуокружности равен \(\frac{1}{2}\) метра.

Подставляя это значение в формулу, мы получим:

\[L = \frac{π * \frac{1}{2}}{2} = \frac{π}{4}\]

Демонстрация:

Для данной задачи длина траектории составляет \(\frac{π}{4}\) метров.

Совет:

Для понимания этой задачи важно знать формулы и свойства геометрии, такие как длины окружностей и геометрические прогрессии. Знание этих концепций поможет вам решать подобные задачи более легко.

Закрепляющее упражнение:

Подсчитайте длину траектории, если радиус самой маленькой полуокружности составляет 2 метра. Ответ округлите до целых сантиметров.