Какова длина стороны основания шестиугольной пирамиды, если угол между боковой гранью и основанием составляет

Суть вопроса: Пирамиды

Объяснение: Чтобы найти длину стороны основания шестиугольной пирамиды, нам нужно воспользоваться информацией об угле между боковой гранью и основанием, а также о объеме пирамиды.

Шаг 1: Рассмотрим правильную шестиугольную пирамиду. У нее шесть боковых граней и основание в форме шестиугольника.

Шаг 2: Угол между боковой гранью и основанием составляет 60 градусов. Изобразим его в нашей пирамиде.

Шаг 3: Обозначим длину стороны основания как "s". Так как пирамида правильная, все стороны основания равны между собой.

Шаг 4: Разделим пирамиду на треугольник ABC и шестиугольник ADEBCF, где A, B и C - вершины треугольника, а D, E, F - вершины шестиугольника.

Шаг 5: Поскольку пирамида правильная, угол DAE будет равен 60 градусов.

Шаг 6: Рассмотрим правильный треугольник DAE. Известно, что угол DAE равен 60 градусов, а угол DEA равен 90 градусов.

Шаг 7: Мы также знаем, что объем пирамиды равен 48√3.

Шаг 8: С помощью формулы для объема пирамиды: V = (1/3) * S * h, где S - площадь основания, а h - высота пирамиды.

Шаг 9: Подставим известные значения и найдем площадь основания (S).

48√3 = (1/3) * S * h

Шаг 10: Теперь нам нужно найти высоту (h). Но перед этим нужно найти S. Как мы знаем, пирамида содержит шестиугольник ADEBCF и треугольник DAE, мы можем выразить S через сторону основания (s) и высоту.

Шаг 11: Рассмотрим треугольник DAE. Мы можем найти боковую сторону DE, используя теорему косинусов.

DE^2 = s^2 + s^2 - 2 * s * s * cos 60

Шаг 12: Упростим выражение:

DE^2 = 2s^2 - 2s^2 * cos 60
DE^2 = 2s^2 - 2s^2 * (1/2)
DE^2 = 2s^2 - s^2
DE^2 = s^2

Шаг 13: Таким образом, мы получаем, что DE^2 = s^2.

Шаг 14: Подставляем это значение в формулу для площади основания S:

S = (3√3 / 2) * DE^2 = (3√3 / 2) * s^2

Шаг 15: Возвращаемся к уравнению объема пирамиды:

48√3 = (1/3) * S * h

48√3 = (1/3) * ((3√3 / 2) * s^2) * h

Шаг 16: Упрощаем выражение:

48√3 = (√3 / 2) * s^2 * h

Шаг 17: Делим уравнение на (√3 / 2) и получаем:

32 = s^2 * h

Шаг 18: Мы знаем, что объем пирамиды V = 48√3, поэтому у нас также есть уравнение V = (1/3) * s^2 * h.

48√3 = (1/3) * s^2 * h

Шаг 19: Теперь мы можем записать два уравнения:

32 = s^2 * h
48√3 = (1/3) * s^2 * h

Шаг 20: Делаем замену для константы: (√3 / 2) = k

Шаг 21: Подставляем полученные значения:

32 = s^2 * h
48k = (1/3) * s^2 * h

Шаг 22: Разделяем уравнения:

96 = 3s^2 * h

Шаг 23: Делим на 3:

32 = s^2 * h

Шаг 24: Подставляем известные нам значения:

32 = s^2 * 32

Шаг 25: Делим обе части уравнения на 32:

1 = s^2

Шаг 26: Выражаем сторону основания:

s = 1

Таким образом, длина стороны основания шестиугольной пирамиды равна 1.

Совет: Формулы для объема пирамиды и площади основания могут быть очень полезными при решении подобных задач. Также важно помнить о применении различных геометрических свойств, например, теоремы косинусов или площади треугольника.

Ещё задача: Найти длину стороны основания правильной четырехугольной пирамиды, если угол между боковой гранью и основанием составляет 45 градусов, а объем пирамиды равен 27√2.