Какова длина AC в равнобедренном треугольнике ABC, где AB = BC = 4, а высота BH пересекает вписанную окружность

Тема урока: Равнобедренные треугольники и их свойства

Пояснение:
Равнобедренный треугольник - это треугольник, у которого две стороны равны. В данной задаче треугольник ABC является равнобедренным, поскольку стороны AB и BC имеют одинаковую длину, равную 4.

Опустим высоту BH на основание AC так, что точка пересечения высоты с окружностью, вписанной в треугольник ABC, обозначена как K. Дано, что соотношение BK: KH = 0,25.

Рассмотрим треугольник ABK. Поскольку треугольник ABC - равнобедренный, у него есть радиус вписанной окружности, который равен половине стороны AC. Пусть это значение радиуса будет r.

По свойствам вписанной окружности, радиус вписанной окружности перпендикулярен к точке пересечения радиуса с хордой, поэтому отрезок KH является высотой треугольника ABK.

Из соотношения BK: KH = 0,25 следует, что KH составляет 0,25 от BK. Таким образом, BK = 4 * 0,25 = 1.

Радиус вписанной окружности треугольника ABK - это r, который также является высотой треугольника ABK. По теореме Пифагора в треугольнике ABK получаем следующее уравнение:

r^2 + 1^2 = 4^2

r^2 + 1 = 16

r^2 = 15

r = √15

Таким образом, высота треугольника BH равна √15.

Теперь рассмотрим треугольник BCH. Мы знаем, что высота BH равна √15, а каждая из сторон равна 4. По теореме Пифагора в треугольнике BCH получаем следующее уравнение:

(AC/2)^2 + (√15)^2 = 4^2

(AC/2)^2 + 15 = 16

(AC/2)^2 = 1

AC/2 = 1

AC = 2

Следовательно, длина отрезка AC в равнобедренном треугольнике ABC равна 2.

Демонстрация:
Найти длину отрезка AC в равнобедренном треугольнике ABC, где AB = BC = 4, а высота BH пересекает вписанную окружность треугольника ABC в точке K, так что соотношение BK: KH = 0,25.

Совет:
Для решения данной задачи важно знать свойства равнобедренных треугольников и вписанной окружности. Рисунок поможет визуализировать задачу и найти логическое решение.

Дополнительное задание:
В равнобедренном треугольнике DEF основание DE равно 6 см, а боковая сторона DF равна 8 см. Найдите длину медианы треугольника, проведенной из вершины F.