Каков закон распределения случайной величины X, представляющей число изделий первого сорта из взятых наугад четырех

Тема: Распределение случайной величины.

Описание:
Для данной задачи у нас есть случайная величина X, представляющая число изделий первого сорта, выбранных наугад из четырех. Мы знаем, что в установившемся технологическом процессе 2/3 изделий являются первым сортом, а 1/3 - вторым сортом.

Закон распределения случайной величины X будет биномиальным распределением, так как мы имеем две возможные категории: изделия первого и второго сорта, и вероятность успеха и неудачи заданы.

Функция распределения f(x) можно найти по формуле:
f(x) = С(x,n) * p^x * (1-p)^(n-x),
где С(x,n) - биномиальный коэффициент, равный комбинации из n по x, p - вероятность успеха, а (1-p) - вероятность неудачи.

Ожидание m(x) и дисперсию d(x) можно вычислить с использованием следующих формул:
m(x) = n * p,
d(x) = n * p * (1-p),
где n - количество попыток, p - вероятность успеха.

Среднее квадратичное отклонение фи(x) найдется как квадратный корень из дисперсии d(x).

Чтобы построить график данного распределения, мы можем отобразить значения x на оси абсцисс, а вероятности f(x) на оси ординат.

Демонстрация:
Для этой задачи мы имеем n = 4 (потому что четыре изделия выбираются наугад), p = 2/3 (вероятность успеха), и (1-p) = 1/3 (вероятность неудачи). Мы можем вычислить функцию распределения f(x) для каждого значения x от 0 до 4, а затем построить график распределения.

Совет:
Чтобы лучше понять распределение случайной величины, вы можете визуализировать это распределение с помощью графика, как было описано выше. Также полезно понимать, что ожидание m(x) представляет среднее количество успехов, а дисперсия d(x) - мера разброса значений случайной величины относительно ее среднего значения.

Проверочное упражнение:
Вычислите функцию распределения f(x), ожидание m(x), дисперсию d(x) и среднее квадратичное отклонение фи(x) для случайной величины X в данной задаче. Постройте график данного распределения.

Суть вопроса: Распределение случайной величины

Пояснение:
В данной задаче мы имеем дело с случайной величиной X, которая представляет число изделий первого сорта из взятых наугад четырех. Установлено, что 2/3 изделий являются первым сортом, а 1/3 - вторым сортом.

Для того чтобы найти закон распределения случайной величины X, мы можем использовать биномиальное распределение, так как каждое изделие может быть либо первого, либо второго сорта.

Биномиальное распределение определяется формулой:

P(X = k) = C(n, k) * p^k * q^(n-k)

где n - общее количество испытаний, k - количество благоприятных исходов, p - вероятность благоприятного исхода, q - вероятность неблагоприятного исхода, C(n, k) - число сочетаний из n по k (количество способов выбрать k исходов из n).

В данном случае, n = 4 (возьмем 4 изделия), k = 0, 1, 2, 3, 4, p = 2/3 (вероятность изделия первого сорта), q = 1/3 (вероятность изделия второго сорта).

Теперь рассчитаем функцию распределения f(x):

f(x) = P(X ≤ x) = Σ P(X = k) from k = 0 to x

Также найдем ожидание m(x) (математическое ожидание), дисперсию d(x) и среднее квадратичное отклонение φ(x) случайной величины X:

m(x) = Σ x * P(X = x) from x = 0 to 4

d(x) = Σ (x - m(x))^2 * P(X = x) from x = 0 to 4

φ(x) = sqrt(d(x))

Наконец, чтобы построить график данного распределения, можно привести значения функции распределения f(x) для каждого значения x (0, 1, 2, 3, 4) и отобразить их на графике с осями "x" и "f(x)".

Пример:

Закон распределения случайной величины X, представляющей число изделий первого сорта из взятых наугад четырех, при установившемся технологическом процессе предприятия можно представить с помощью биномиального распределения.

Для нахождения функции распределения f(x) можно рассчитать вероятности P(X = k) для каждого значения x от 0 до 4 и сложить их:

f(0) = P(X = 0) = C(4, 0) * (2/3)^0 * (1/3)^(4-0)
f(1) = P(X = 1) = C(4, 1) * (2/3)^1 * (1/3)^(4-1)
f(2) = P(X = 2) = C(4, 2) * (2/3)^2 * (1/3)^(4-2)
f(3) = P(X = 3) = C(4, 3) * (2/3)^3 * (1/3)^(4-3)
f(4) = P(X = 4) = C(4, 4) * (2/3)^4 * (1/3)^(4-4)

Далее, для нахождения ожидания m(x), дисперсии d(x) и среднего квадратичного отклонения фи(x), используем формулы, представленные выше.

Наконец, для построения графика данного распределения, откладываем значения x (0, 1, 2, 3, 4) по оси абсцисс и значения f(x) по оси ординат.

Совет:
Для лучшего понимания концепции биномиального распределения, можно прочитать дополнительную литературу или посмотреть видеоуроки на эту тему. Также полезно разобрать несколько примеров задач на биномиальное распределение, чтобы понять, как применять формулы и рассчитывать значения вероятностей, ожидания и дисперсии.

Упражнение:
Найдите функцию распределения f(x), ожидание m(x), дисперсию d(x) и среднее квадратичное отклонение фи(x) для случайной величины X, представляющей число изделий первого сорта из взятых наугад четырех, если вероятность изделия первого сорта равна 2/3. Также постройте график данного распределения.