Каков угол между линиями AB и CD, если координаты точек A(1; 1; 5), C(8; 5; 5), B(4; 7; 5) и D(5

Тема: Угол между линиями в трехмерном пространстве

Пояснение:
Для решения этой задачи, мы можем использовать векторное представление линий AB и CD и затем найти угол между этими векторами.

1. Вектор AB можно получить, вычислив разность координат точек A и B:
AB = B - A = (4 - 1, 7 - 1, 5 - 5) = (3, 6, 0)

2. Вектор CD можно получить, вычислив разность координат точек C и D:
CD = D - C = (5 - 8, 5 - 5, 5 - 5) = (-3, 0, 0)

3. Для нахождения угла между векторами AB и CD, мы можем использовать формулу скалярного произведения:
cos(θ) = (AB · CD) / (|AB| * |CD|), где θ - искомый угол, · обозначает скалярное произведение, |AB| и |CD| - длины векторов AB и CD соответственно.

4. Вычислим скалярное произведение AB · CD:
AB · CD = (-3*3 + 6*0 + 0*0) = -9

5. Вычислим длины векторов AB и CD:
|AB| = sqrt(3² + 6² + 0²) = sqrt(45) ≈ 6.71
|CD| = sqrt((-3)² + 0² + 0²) = 3

6. Подставим значения в формулу и найдем угол:
cos(θ) = -9 / (6.71 * 3) ≈ -0.447
θ ≈ arccos(-0.447) ≈ 116.57°

Таким образом, угол между линиями AB и CD составляет около 116.57°.

Совет:
Для лучшего понимания задачи, рекомендуется ознакомиться с основами векторной алгебры и формулами для нахождения угла между векторами. Используйте графическое представление для визуализации положения линий в пространстве.

Задание:
Найдите угол между линиями EF и GH, если координаты точек E(2; 5; 1), F(4; 3; 8), G(6; 2; 4) и H(1; 7; 9).

Предмет вопроса: Углы между линиями в трехмерном пространстве.

Объяснение: Чтобы найти угол между линиями AB и CD, мы можем использовать векторное произведение и скалярное произведение векторов.

1. Найдите векторы AB и CD, используя формулу (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1), где (x1, y1, z1) и (x2, y2, z2) - координаты точек A, B, C и D соответственно.
AB = (4 - 1, 7 - 1, 5 - 5) = (3, 6, 0)
CD = (8 - 5, 5 - 1, 5 - 5) = (3, 4, 0)

2. Вычислите векторное произведение AB и CD, используя формулу (u1 * v2 - u2 * v1, u3 * v1 - u1 * v3, u2 * v3 - u3 * v2), где u = AB, v = CD.
AB × CD = (3 * 4 - 6 * 3, 0 - 3 * 0, 6 * 4 - 3 * 0) = (0, 0, 24)

3. Найдите модуль вектора AB × CD, используя формулу ∥AB × CD∥ = √(x^2 + y^2 + z^2), где (x, y, z) - компоненты вектора AB × CD.
∥AB × CD∥ = √(0^2 + 0^2 + 24^2) = √576 = 24

4. Вычислите скалярное произведение AB и CD, используя формулу u1 * v1 + u2 * v2 + u3 * v3, где u = AB, v = CD.
AB • CD = 3 * 3 + 6 * 4 + 0 * 0 = 9 + 24 + 0 = 33

5. Найдите угол между линиями AB и CD, используя формулу cos(θ) = (AB • CD) / (∥AB∥ * ∥CD∥), где θ - искомый угол.
cos(θ) = 33 / (24 * √(33)) ≈ 0.133

6. Найдите значение угла θ, используя тригонометрическую функцию арккосинус (cos^(-1)).
θ ≈ cos^(-1)(0.133) ≈ 1.435 радиан или ≈ 82.17°

Таким образом, угол между линиями AB и CD составляет примерно 1.435 радиана или 82.17°.

Совет: При решении задач по углам между линиями в трехмерном пространстве, полезно разобраться в основах векторной алгебры и использовать соответствующие формулы.

Задача для проверки: Найти угол между линиями, заданными координатами точек:
A(2; 3; 0), B(-1; 4; 2) и C(1; 1; 1), D(0; -2; -1).