Каков синус угла ϕ между прямой am и диагональной плоскостью (bb1d1d) в кубе abcda1b1c1d1 с длиной ребра 1

Тема урока: Синус угла между прямой и плоскостью

Разъяснение: Чтобы найти синус угла между прямой `am` и диагональной плоскостью `(bb1d1d)` в кубе `abcda1b1c1d1`, сначала нам нужно найти векторы, соответствующие этим объектам.

Пусть вектор `v1` будет направлением прямой `am` и вектор `v2` будет направлением диагональной плоскости `(bb1d1d)`. Затем мы можем использовать скалярное произведение этих векторов, чтобы найти косинус угла между ними. Согласно геометрическим свойствам, синус угла между прямой и плоскостью равен корню из одного минус квадрата косинуса угла.

Для начала найдем вектор `v1`. Так как `a1m:md1 = 3:4`, мы можем найти координаты точек `a1` и `m`. Пусть координаты точки `a1` будут `[x, y, z]`, тогда координаты точки `m` будут `[3x/7, 3y/7, 3z/7]`. Вектор `v1` будет равен разности координат `m` и `a1`: `[3x/7 - x, 3y/7 - y, 3z/7 - z]`.

Затем найдем вектор `v2`. Сначала найдем координаты точки `d1`. Так как на ребре `a1d1` находится точка `m`, мы можем найти координаты точки `d1`. Пусть координаты точки `d1` будут `[x1, y1, z1]`. Также, так как `abcda1b1c1d1` - куб с длиной ребра 1, мы можем найти координаты точки `b1` и `d`. Пусть координаты точки `b1` будут `[x2, y2, z2]` и координаты точки `d` будут `[x3, y3, z3]`. Затем найдем координаты точки `d1`, как среднее арифметическое координат точек `b1` и `d`: `[x2 + x3/2, y2 + y3/2, z2 + z3/2]`. Вектор `v2` будет равен разности координат `d1` и `b`: `[x2 - (x2 + x3/2), y2 - (y2 + y3/2), z2 - (z2 + z3/2)]`.

Теперь, когда мы знаем векторы `v1` и `v2`, мы можем вычислить косинус угла между ними, используя скалярное произведение. Сначала найдем скалярное произведение векторов: `dot_product = v1[0]*v2[0] + v1[1]*v2[1] + v1[2]*v2[2]`. Затем вычислим косинус угла между векторами: `cos_angle = dot_product / (|v1| * |v2|)`, где `|v1|` и `|v2|` - это длины векторов `v1` и `v2` соответственно. Наконец, найдем синус угла между прямой и плоскостью: `sin_angle = sqrt(1 - cos_angle^2)`.

Дополнительный материал:
Дано: `a1m:md1 = 3:4`
Известно, что длина ребра куба `abcda1b1c1d1` равна 1.

Мы должны найти синус угла ϕ между прямой `am` и плоскостью `(bb1d1d)`.

Совет: Если у вас возникают трудности в вычислении векторов или нахождении координат точек, рекомендуется использовать координатную систему и изображение куба на бумаге.

Дополнительное задание: Найдите синус угла ϕ между прямой `am` и плоскостью `(cc1b1b)` в кубе `abcda1b1c1d1` с длиной ребра 2 ед. изм., где на ребре `cd` находится точка `m` так, что `cm:md = 1:2`.

Содержание вопроса: Синус угла между прямой и плоскостью в кубе

Разъяснение: Чтобы найти синус угла между прямой am и диагональной плоскостью (bb1d1d) в кубе abcda1b1c1d1, нам понадобятся некоторые геометрические размышления.

В этом кубе, плоскость (bb1d1d) является диагональной плоскостью, проходящей через грани aa1dd1. Прямая am, в свою очередь, является отрезком, соединяющим вершины a1 и m на ребре a1d1.

Для начала, найдем длину отрезка a1m, используя отношение a1m:md1 = 3:4. Так как ребро a1d1 имеет длину 1 единицу измерения, мы можем рассчитать a1m = (3/7) * 1 = 3/7 единицы измерения.

Затем найдем длину диагонали bb1d1d, которая равна квадратному корню из суммы квадратов длин его сторон. Так как куб имеет длину ребра 1 единица измерения, то bb1d1d = √(1^2 + 1^2 + 1^2) = √3 единицы измерения.

Теперь мы можем найти синус угла ϕ между прямой am и диагональной плоскостью, используя следующую формулу: синус ϕ = a1m / bb1d1d. Подставляя значения, получаем синус ϕ = (3/7) / √3.

Доп. материал:
Угол между прямой am и плоскостью (bb1d1d) в кубе abcda1b1c1d1 с длиной ребра 1 ед. изм. и a1m:md1 = 3:4 равен sin ϕ = (3/7) / √3.

Совет: Чтобы лучше понять геометрию в данной задаче, рассмотрите фигуру куба и визуализируйте плоскость (bb1d1d) и прямую am. Обратите внимание на соотношение сторон и длину ребра.

Задача для проверки: Найдите синус угла между прямой, проходящей от вершины a и центра грани c1d1d, и плоскостью (bb1d1d) в кубе abcda1b1c1d1 с длиной ребра 2 ед. изм.