Каков результат вычисления двойного интеграла int int x^{2}y ,dx ,dy в прямоугольнике, определенном как 3 le x le 6

Суть вопроса: Вычисление двойного интеграла

Пояснение:

Для решения данной задачи, мы должны вычислить двойной интеграл от функции x^{2}y в указанном прямоугольнике. Для вычисления двойного интеграла, мы должны сначала определить пределы интегрирования, которые заданы как 3 \le x \le 6 и 0 \le y \le 2.

Сначала мы интегрируем по переменной x, учитывая ограничения 3 и 6:

\int_{0}^{2} \int_{3}^{6} x^{2}y\,dx\,dy

Вычислим первый интеграл по переменной x:

\int_{0}^{2} \frac{1}{3}x^{3}y\Bigg|_{3}^{6}\,dy

Подставим верхний и нижний пределы интегрирования в формулу:

\int_{0}^{2} \frac{1}{3}(216y - 27y)\,dy

Теперь можем проинтегрировать выражение по переменной y:

\frac{1}{3} \int_{0}^{2} 189y\,dy

Вычислим интеграл:

\frac{1}{3} \cdot \frac{189}{2}y^{2}\Bigg|_{0}^{2}

Подставим верхний и нижний пределы интегрирования:

\frac{1}{3} \cdot \frac{189}{2}(2^{2} - 0^{2})

После вычислений, получим результат:

\frac{1}{3} \cdot \frac{189}{2} \cdot 4 = 126

Ответ: b. 126

Совет:

При решении таких задач, всегда внимательно определяйте пределы интегрирования и последовательно применяйте формулы для интегрирования по переменным. Очень важно следить за правильным подстановками верхних и нижних пределов, чтобы получить точный ответ.

Задача для проверки:

Вычислите двойной интеграл для функции \int \int 3x^{2}y^{2}\,dx\,dy в прямоугольнике, где 1 \le x \le 4 и 0 \le y \le 3.