Каков радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник, если его площадь равна 96 квадратным сантиметрам

Задача: Каков радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник, если его площадь равна 96 квадратным сантиметрам и радиус описанной окружности равен 10 сантиметрам? Пожалуйста, сообщите радиус вписанной окружности.

Пояснение: Для решения этой задачи воспользуемся следующими фактами о прямоугольных треугольниках и их окружностях:

1. В прямоугольном треугольнике, вписанная окружность касается всех трех сторон треугольника.
2. В прямоугольном треугольнике, описанная окружность имеет свой центр на середине гипотенузы и радиус, равный половине гипотенузы.

Мы знаем, что радиус описанной окружности составляет 10 сантиметров. Положим, что стороны прямоугольного треугольника равны a, b и c, где a и b - катеты, а c - гипотенуза.

Используем формулу для площади прямоугольного треугольника:
Площадь = (a * b) / 2 = 96

Таким образом, a * b = 192

Также известно, что радиус описанной окружности равен половине гипотенузы:
c / 2 = 10

Отсюда получаем, что c = 20

Мы можем найти отношение радиуса вписанной окружности (r) к радиусу описанной окружности (R) по формуле:
r = R / 2 = 10 / 2 = 5

Таким образом, радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник равен 5 сантиметрам.

Совет: При решении подобных задач по геометрии всегда полезно использовать известные факты о фигурах и формулы, связанные с ними. Обратите внимание на свойства прямоугольных треугольников, окружностей и их радиусов. Также важно внимательно читать условие задачи и уметь связывать информацию, предоставленную в условии, с необходимыми формулами для решения.

Закрепляющее упражнение: Каков будет радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник, если его площадь равна 144 квадратным сантиметрам и радиус описанной окружности составляет 12 сантиметров? Пожалуйста, сообщите радиус вписанной окружности.