Каков объем фигуры, полученной в результате вращения прямоугольника с размерами сторон 1 см и 11см вокруг прямой

Тема: Объем фигуры, полученной в результате вращения прямоугольника

Пояснение: Чтобы решить эту задачу, мы будем использовать метод цилиндров, который основан на представлении фигуры как объединения бесконечного числа тонких цилиндров. Каждый из этих цилиндров имеет высоту dx (очень маленькую часть высоты) и радиус r.

Для начала, найдем радиус r. Радиус можно найти путем вычитания расстояния прямой от большей стороны прямоугольника (2 см) из половины длины большей стороны прямоугольника (11 см / 2 = 5.5 см). Таким образом, r = 5.5 см - 2 см = 3.5 см.

Теперь, чтобы найти объем такой фигуры, вращающейся вокруг прямой, мы должны проинтегрировать от нижней границы до верхней границы dx (высоты) функции площади поперечного сечения. В данном случае поперечное сечение фигуры является окружностью с радиусом r.

Выражение для площади поперечного сечения окружности можно записать как Pi * r^2, где Pi - это математическая константа, примерно равная 3.14.

Интегрируя от нижней границы до верхней границы, получаем следующий интеграл: V = ∫(от 0 до h) Pi * r^2 * dx.

Теперь подставим значения: V = ∫(от 0 до h) 3.14 * (3.5^2) * dx.

Мы также знаем, что высота h равна 1 см. Таким образом, V = ∫(от 0 до 1) 3.14 * (3.5^2) * dx.

Вычисляя этот интеграл, получаем объем фигуры, полученной в результате вращения прямоугольника, равным 3.85 * Pi см^3.

Пример использования: Найдите объем фигуры, полученной в результате вращения прямоугольника с размерами сторон 1 см и 11 см вокруг прямой, находящейся на отстоянии 2 см от большей стороны.

Совет: При решении подобных задач всегда визуализируйте фигуру и обратите внимание на симметрию или осевую ротацию. Помимо этого, вы также можете попросить пояснить геометрию фигуры, чтобы получить более глубокое понимание решения.

Упражнение: Найдите объем фигуры, полученной в результате вращения прямоугольника с размерами сторон 2 см и 8 см вокруг прямой, находящейся на отстоянии 3 см от большей стороны.