Каков косинус угла α между прямыми bn и am в кубе с ребром 1, если точки n и m на ребрах b1a1 и a1d1 соответственно

Тема: Косинус угла между прямыми

Описание:
Чтобы решить эту задачу, нам понадобятся знания о векторной алгебре и геометрии.

Для начала, давайте рассмотрим ситуацию в кубе с ребром 1. Мы можем представить точку `n` как вектор `bn` и точку `m` как вектор `am`. Заметим, что вектор `b1n` является частью вектора `bn`, и вектор `a1m` - частью вектора `am`.

В данной задаче нам известно, что отношение частей данных векторов равно отношению их длин. Так как `b1n: na1=1:3`, мы можем сказать, что длина вектора `b1n` составляет 1/4 от длины всего вектора `bn`, а длина вектора `na1` - 3/4 от длины вектора `bn`. Аналогично, получаем, что длина вектора `a1m` равна 1/5 от длины всего вектора `am`, а длина вектора `md1` - 4/5 от длины `am`.

Теперь воспользуемся определением косинуса угла между двумя векторами: `cos α = (a · b) / (|a| · |b|)`, где `a` и `b` - векторы, `a · b` - их скалярное произведение, `|a|` и `|b|` - их длины. В данном случае, вектор `bn` и вектор `am` являются векторами, образующими угол α.

Используя найденные длины отрезков `b1n`, `na1`, `a1m` и `md1`, мы можем найти длины векторов `bn` и `am`. Длина `bn` будет равна `b1n + na1`, то есть 1/4 + 3/4 = 1, и длина `am` будет равна `a1m + md1`, то есть 1/5 + 4/5 = 1.

Теперь мы можем вычислить скалярное произведение векторов `bn` и `am`. Поскольку эти векторы содержат только горизонтальные компоненты, скалярное произведение будет равно произведению их длин умноженному на косинус угла α. Следовательно, `bn · am = |bn| × |am| × cos α`.

Зная, что длины векторов `bn` и `am` равны 1, получаем, что `|bn| × |am| = 1 × 1 = 1`. Подставляя это в уравнение для скалярного произведения, получаем `1 × cos α = bn · am`.

Таким образом, косинус угла α между прямыми `bn` и `am` в кубе с ребром 1 равен значению скалярного произведения векторов `bn` и `am`.

Пример использования:
В данной задаче требуется найти косинус угла α между прямыми `bn` и `am` в кубе. Зная, что длины векторов `bn` и `am` равны 1, а отношение их частей равно 1:3 и 1:4 соответственно, мы можем найти длины этих частей и вычислить скалярное произведение векторов `bn` и `am`. Результатом будет значение косинуса угла α.

Совет:
Для лучшего понимания этой задачи, рекомендуется обратить внимание на использование отношений длин векторов `b1n`, `na1`, `a1m` и `md1` для определения длин всего вектора `bn` и всего вектора `am`.

Задание:
Найти косинус угла `β` между прямыми `cd` и `am` в том же кубе с ребром 1, если отношение отрезков `cd` и `dc1` на ребре `c1d1` составляет 1:2, а отношение `a1m` и `md1` равно 1:3.