Разложение бинома
Каков коэффициент при a^2 b^8 в разложении бинома (a+b)^10?
Каков коэффициент при a^2 b^8 в разложении бинома (a+b)^10?
01.12.2023 19:24
Написать свой ответ:
Инструкция: Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать бином Ньютона, который позволяет разложить биномиальное выражение в степени n на сумму слагаемых. Разложение бинома (a+b)^10 будет состоять из 11 слагаемых, каждое из которых будет иметь коэффициент и степени a и b, сумма которых равна 10.
Чтобы найти коэффициент при a^2 b^8, мы должны взять третье слагаемое в разложении, так как a^2 b^8 = a^(10-8) b^8 = a^8 b^8. Это означает, что у a степень 8, а у b степень 8. Коэффициент для этого слагаемого можно вычислить с помощью формулы биномиального коэффициента:
C(10, 8) = 10! / (8! * (10-8)!) = 45
Таким образом, коэффициент при a^2 b^8 в разложении бинома (a+b)^10 равен 45.
Пример:
Задача: Найдите коэффициент при a^2 b^8 в разложении бинома (a+b)^10.
Решение:
Используем формулу биномиального коэффициента:
C(10, 8) = 10! / (8! * (10-8)!) = 45
Ответ: Коэффициент при a^2 b^8 в разложении бинома (a+b)^10 равен 45.
Совет: Для более легкого понимания разложения бинома и вычисления биномиальных коэффициентов, помните формулу бинома Ньютона (a+b)^n = C(n, 0) * a^n * b^0 + C(n, 1) * a^(n-1) * b^1 + ... + C(n, n) * a^0 * b^n.
Попрактикуйтесь в вычислении различных коэффициентов биномиальных выражений, чтобы лучше усвоить эту тему.
Практика: Найдите коэффициент при a^3 b^5 в разложении бинома (a+b)^8.
Пояснение: Чтобы найти коэффициент при a^2 b^8 в разложении бинома (a+b)^10, мы можем использовать формулу для коэффициентов в биномиальном расширении. Формула гласит: коэффициент = C(n, k) * (a^(n-k)) * (b^k), где n - степень бинома, k - степень b в разложении, C(n, k) - биномиальный коэффициент (количество сочетаний из n элементов, выбранных k элементов).
В данной задаче, n = 10, k = 8. Подставляя значения в формулу, мы получим: коэффициент = C(10, 8) * (a^(10-8)) * (b^8).
C(10, 8) = 10! / (8! * (10-8)!) = 10! / (8! * 2!) = 45, так как факториал числа 10 равен 10! = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1, и так далее.
Подставляя значения, получаем: коэффициент = 45 * (a^2) * (b^8).
Демонстрация: Найдите коэффициент при a^2 b^8 в разложении бинома (a+b)^10.
Совет: Чтобы лучше понять биномиальное расширение, рекомендуется изучить бином Ньютона и его свойства, а также попрактиковаться в вычислении биномиальных коэффициентов.
Закрепляющее упражнение: Найдите коэффициент при a^3 b^5 в разложении бинома (a+b)^8.