Каков градиент функции z=2x^2-3xy+y^3 в точке M0 (2;1)?

Тема занятия: Градиент функции

Описание: Градиент функции - это вектор, который указывает направление наибольшего возрастания функции в данной точке. В данной задаче нам нужно вычислить градиент функции z=2x^2-3xy+y^3 в точке М0(2;1).

Чтобы найти градиент функции в данной точке, мы должны вычислить частные производные по каждой переменной и составить вектор из полученных значений.

Для нашей функции z=2x^2-3xy+y^3, найдем частные производные по x и y.

Частная производная по x будет равна:
∂z/∂x = 4x - 3y

Частная производная по y будет равна:
∂z/∂y = -3x + 3y^2

Подставим точку М0(2;1) в выражения для частных производных:

∂z/∂x = 4(2) - 3(1) = 8 - 3 = 5
∂z/∂y = -3(2) + 3(1)^2 = -6 + 3 = -3

Теперь составим градиент функции в точке М0(2;1) из полученных значений:

grad(z) = (∂z/∂x, ∂z/∂y) = (5, -3)

Таким образом, градиент функции z=2x^2-3xy+y^3 в точке M0(2;1) равен (5, -3).

Совет: Для того чтобы лучше понять градиент функции, рекомендуется изучить теорию частных производных и векторов в пространстве. Практикуйтесь в нахождении градиента для различных функций в разных точках.

Ещё задача: Найдите градиент функции f(x, y) = 3x^2 - 2y + 4 в точке (1, 2).