Какое значение параметра λ обеспечит то, что сечение тетраэдра плоскостью MNP будет параллелограммом, если в тетраэдре
Какое значение параметра λ обеспечит то, что сечение тетраэдра плоскостью MNP будет параллелограммом, если в тетраэдре ABCD медианы граней ABD, BCD и ABC пересекаются в точках M, N и O, а на отрезке DO взята точка P так, что DP = λ*DO?
01.11.2024 11:12
Разъяснение: Чтобы плоскость MNP была параллелограммом, необходимо, чтобы точки M, N и P лежали на одной прямой. Рассмотрим это подробнее.
Медианы тетраэдра ABD и BCD пересекаются в точке O. Поскольку точка D лежит на медиане BCD, то согласно свойству медианы, отношение BD:DO=2:1. Представим вектор DO в виде суммы векторов BD и BO, тогда DO=BD+BO.
Теперь рассмотрим отношение DP:DO. Заменим вектор DO на его представление через BD и BO, получим DP=BD+BO+λ*(BD+BO). Упростим это выражение: DP=(2+λ)*BD+(1+λ)*BO.
Таким образом, чтобы точка P лежала на отрезке DO, длина вектора DP должна быть равна длине вектора DO. То есть, |DP|=|DO|. Раскроем абсолютные значения и приравняем соответствующие коэффициенты:
|(2+λ)*BD+(1+λ)*BO|=|BD+BO|
Распишем это в виде уравнений по координатам векторов и решим систему уравнений для коэффициента λ.
Например: Дано: BD=3, BO=4. Найдем значение параметра λ для плоскости MNP, которое обеспечит параллелограмм.
Решение:
|(2+λ)*3+(1+λ)*4|=|3+4|
(6+3λ)+(4+4λ)= 7
7+7λ=7
7λ=0
λ=0
Совет: Чтобы лучше понять данную задачу, полезно вспомнить свойства медиан тетраэдра и знание о параллелограммах в пространстве. Рекомендуется также нарисовать схематический рисунок, чтобы проиллюстрировать расположение точек и векторы.
Дополнительное задание: В тетраэдре ABCD медианы граней ABD, BCD и ABC пересекаются в точках M, N и O соответственно. На отрезке DO взята точка P так, что DP = λ*DO. Найдите значение параметра λ, если DP = 2.