Математика

Какое значение параметра λ обеспечит то, что сечение тетраэдра плоскостью MNP будет параллелограммом, если в тетраэдре

Какое значение параметра λ обеспечит то, что сечение тетраэдра плоскостью MNP будет параллелограммом, если в тетраэдре ABCD медианы граней ABD, BCD и ABC пересекаются в точках M, N и O, а на отрезке DO взята точка P так, что DP = λ*DO?
Верные ответы (1):
  • Chernysh_7767
    Chernysh_7767
    3
    Показать ответ
    Задача: Какое значение параметра λ обеспечит то, что сечение тетраэдра плоскостью MNP будет параллелограммом, если в тетраэдре ABCD медианы граней ABD, BCD и ABC пересекаются в точках M, N и O, а на отрезке DO взята точка P так, что DP = λ*DO?

    Разъяснение: Чтобы плоскость MNP была параллелограммом, необходимо, чтобы точки M, N и P лежали на одной прямой. Рассмотрим это подробнее.

    Медианы тетраэдра ABD и BCD пересекаются в точке O. Поскольку точка D лежит на медиане BCD, то согласно свойству медианы, отношение BD:DO=2:1. Представим вектор DO в виде суммы векторов BD и BO, тогда DO=BD+BO.

    Теперь рассмотрим отношение DP:DO. Заменим вектор DO на его представление через BD и BO, получим DP=BD+BO+λ*(BD+BO). Упростим это выражение: DP=(2+λ)*BD+(1+λ)*BO.

    Таким образом, чтобы точка P лежала на отрезке DO, длина вектора DP должна быть равна длине вектора DO. То есть, |DP|=|DO|. Раскроем абсолютные значения и приравняем соответствующие коэффициенты:

    |(2+λ)*BD+(1+λ)*BO|=|BD+BO|

    Распишем это в виде уравнений по координатам векторов и решим систему уравнений для коэффициента λ.

    Например: Дано: BD=3, BO=4. Найдем значение параметра λ для плоскости MNP, которое обеспечит параллелограмм.

    Решение:
    |(2+λ)*3+(1+λ)*4|=|3+4|

    (6+3λ)+(4+4λ)= 7

    7+7λ=7

    7λ=0

    λ=0

    Совет: Чтобы лучше понять данную задачу, полезно вспомнить свойства медиан тетраэдра и знание о параллелограммах в пространстве. Рекомендуется также нарисовать схематический рисунок, чтобы проиллюстрировать расположение точек и векторы.

    Дополнительное задание: В тетраэдре ABCD медианы граней ABD, BCD и ABC пересекаются в точках M, N и O соответственно. На отрезке DO взята точка P так, что DP = λ*DO. Найдите значение параметра λ, если DP = 2.
Написать свой ответ: