Какое значение имеет максимум функции y=2log_0,25 (3-x)-〖log〗_0,25^2 (3-x)+1?

Суть вопроса: Решение задач на логарифмы

Инструкция: Для решения данной задачи мы будем использовать основные свойства логарифмов.

Задача состоит в определении значения функции y при заданном выражении. Первым шагом является приведение выражения под знаком логарифма к удобному виду.

Дано: y = 2log₀,²⁵(3-x) - log₀,²⁵²(3-x) + 1

Мы знаем, что log(a) - log(b) = log(a/b), а log(a) + log(b) = log(a*b). Используем эти свойства для упрощения выражения:

y = log₀,²⁵((3-x)²)/(³(3-x)) + 1

Далее, мы применяем ещё одно свойство логарифма - log(aᵏ) = k*log(a). Применяем это свойство в нашем уравнении:

y = log₀,²⁵((3-x)²)/(³(3-x)) + log₀,²⁵(1)

Поскольку log(a) = 0 для любого положительного числа a, log₀,²⁵(1) = 0:

y = log₀,²⁵((3-x)²)/(³(3-x)) + 0

y = log₀,²⁵((3-x)²)/(³(3-x))

Таким образом, значение функции y равно log₀,²⁵((3-x)²)/(³(3-x)).

Доп. материал: Вычислите значение функции y=2log₀,²⁵(3-x)-log₀,²⁵²(3-x)+1 при x = 4.

Совет: Для лучшего понимания и усвоения логарифмических свойств, рекомендуется проработать их в свободное время и решить несколько дополнительных задач для практики.

Задача для проверки: Вычислите значение функции y = 3log₂(5x) - log₂(2x) при x = 2.

Содержание: Максимум функции с логарифмами

Пояснение: Для решения данной задачи мы будем использовать свойство логарифмов и известные свойства поиска экстремумов функций.

У нас дана функция y = 2log_0,25 (3-x) - log_0,25^2 (3-x) + 1. Для начала, давайте приведем эту функцию к более удобному виду, раскрыв логарифмы:

y = 2log₀,₂₅ (3-x) - log₀,₀₀₆₂₅ (3-x) + 1.

Теперь мы можем использовать свойство логарифма loga(b) = c, которое возвращает нам значение a в степени c равным b. Применим это свойство к нашей функции:

y = log₀,₀₀₆₂₅ (3-x)^2 (3-x)^(-2) + 1.

Теперь, разложим функцию на две части:

y = 2log₀,₂₅ (3-x) - ([log₀,₀₀₆₂₅ (3-x)^2] + [log₀,₀₀₆₂₅ (3-x)^(-2)]) + 1.

Обратите внимание, что второй член ([log₀,₀₀₆₂₅ (3-x)^2] + [log₀,₀₀₆₂₅ (3-x)^(-2)]) является суммой двух логарифмов.
Согласно свойству loga(b) + loga(c) = loga(b * c), мы можем преобразовать этот член:

y = 2log₀,₂₅ (3-x) - log₀,₀₀₆₂₅ [(3-x)^2 * (3-x)^(-2)] + 1.

(3-x)^2 * (3-x)^(-2) равно 1, таким образом:

y = 2log₀,₂₅ (3-x) - log₀,₀₀₆₂₅ (1) + 1.

Логарифм от 1 равен 0, поэтому последний член log₀,₀₀₆₂₅ (1) исчезает:

y = 2log₀,₂₅ (3-x) + 1.

Теперь у нас имеется функция y = 2log₀,₂₅ (3-x) + 1. Чтобы найти максимум функции, помним, что максимум функции находится там, где ее производная равна нулю. Таким образом, возьмем производную нашей функции:

y" = (2/(ln ₀.₂₅)) * (1/(3-x)).

Приравняем ее к нулю и решим уравнение:

(2/(ln ₀.₂₅)) * (1/(3-x)) = 0.

Уравнение сокращается и остается:

1/(3-x) = 0.

Такого значения x, при котором производная равна нулю, не существует. Таким образом, у нашей функции нет максимума.

Задание для закрепления: Найдите минимум функции y = 2log₀,₂₅ (3-x) - log₀,₀₀₆₂₅ (3-x) + 1.