Какое значение имеет cos2a, если 4tga-4ctga=15 , 3П/2 < a

Содержание: Тригонометрия

Инструкция: Данная задача связана с тригонометрическими функциями и требует нахождения значения функции cos(2a). Для начала, у нас дано равенство 4tan(a) - 4cot(a) = 15 и условие, что угол a находится в интервале от 3π/2 до 2π.

Давайте разберемся с данным равенством. Начнем с упрощения выражения 4tan(a) - 4cot(a). Мы можем заметить, что cot(a) = 1/tan(a), а также, с помощью формулы тангенса через синус и косинус, мы можем заменить tang(a) и cot(a) на sin(a) / cos(a):

4tan(a) - 4cot(a) = 4sin(a)/cos(a) - 4cos(a)/sin(a).

С помощью общего знаменателя, мы можем привести это выражение к виду:

(4sin^2(a) - 4cos^2(a)) / (sin(a) * cos(a)).

Так как нам дано, что sin(a) < 0 (так как a находится во 2 квадранте), мы можем умножить выражение на -1, чтобы избавиться от знака минуса:

(4cos^2(a) - 4sin^2(a)) / (sin(a) * cos(a)) = 15.

Теперь мы можем заменить cos^2(a) на 1 - sin^2(a), чтобы получить:

(4 - 8sin^2(a)) / (sin(a) * cos(a)) = 15.

Далее, можно упростить числитель:

4 - 8sin^2(a) = 15sin(a)cos(a).

Теперь мы можем воспользоваться формулой двойного угла для синуса, чтобы заменить sin(2a) на 2sin(a)cos(a):

4 - 8sin^2(a) = 15sin(a) * 2sin(a)cos(a).

Раскрывая скобки:

4 - 8sin^2(a) = 30sin^2(a)cos(a).

Теперь мы можем привести это выражение к квадратному уравнению:

30sin^2(a)cos(a) + 8sin^2(a) - 4 = 0.

Решая это квадратное уравнение относительно sin^2(a), мы получаем два значения:

sin^2(a) = 1/30 или sin^2(a) = -2/15.

Однако, мы знаем, что sin^2(a) не может быть отрицательным значением, так как sin(a) < 0. Поэтому, мы можем использовать только первое значение:

sin^2(a) = 1/30.

Теперь, мы можем найти cos^2(a):

cos^2(a) = 1 - sin^2(a) = 1 - 1/30 = 29/30.

Таким образом, значение cos(2a) равно cos(2a) = 2cos^2(a) - 1 = 2(29/30) - 1 = 29/15.

Совет: Для лучшего понимания тригонометрических функций и их связей, стоит изучить основные формулы, такие как формулы синуса, косинуса и тангенса, формулу двойного угла и формулу сокращенного умножения для синуса и косинуса. Также, регулярная практика в решении задач поможет сделать материал более понятным и запоминаемым.

Дополнительное задание: Найдите значение sin(2a), если 2sin(a) - 2cos(a) = 5/4, а угол a находится в интервале от 0 до π/2.