Какое значение достигает максимум функции y=ln(x+11)^12-12x на интервале [-10,5]?

Суть вопроса: Максимум функции

Пояснение: Для нахождения максимума функции y = ln(x+11)^12 - 12x на интервале [-10,5], мы можем использовать производные функций. Производная функции позволяет нам определить точки, где функция достигает экстремумов, таких как максимум или минимум.

Для начала, найдем производную функции y по x. Используя правила дифференцирования и цепное правило, получим:

y" = 12/(x+11) - 12.

Затем, приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

12/(x+11) - 12 = 0.

Решив это уравнение, мы получим:

12/(x+11) = 12.

Путем упрощения дроби и дальнейшего решения получим:

x + 11 = 1.

x = -10.

Из этого следует, что единственная критическая точка функции y на интервале [-10,5] - это x = -10.

Теперь нам нужно найти значение y при x = -10, чтобы определить максимум функции на заданном интервале. Подставим x = -10 в исходную функцию:

y = ln((-10)+11)^12 - 12(-10).

y = ln(1)^12 + 120.

y = 0 + 120.

y = 120.

Таким образом, максимальное значение функции на интервале [-10,5] равно 120.

Совет: При решении подобных задач, всегда проверяйте граничные точки и критические точки функции на достижение экстремумов.

Задание: Найдите минимум функции y = x^3 - 3x^2 - 4x на интервале [-2,3].

Содержание: Максимум функции на интервале

Объяснение:
Для нахождения максимального значения функции y=ln(x+11)^12-12x на интервале [-10,5], нам нужно найти точку, где производная этой функции равна нулю. Для этого мы используем процесс дифференцирования и решения уравнения.

Сначала давайте возьмем производную функции, используя правила дифференцирования. Производная ln(x+11)^12 равняется (12/(x+11)) * (x+11)^12-1 = 12(x+11)^11. Производная -12x равна -12.

Теперь мы устанавливаем производную равной нулю и решаем уравнение 12(x+11)^11 - 12 = 0.

Решение этого уравнения помогает нам найти точку, где функция достигает своего максимального значения. Решив уравнение, мы получаем x = -11/12.

Теперь нам нужно проверить, является ли эта точка максимумом. Для этого мы можем взять вторую производную функции. Вторая производная ln(x+11)^12 равна (12/(x+11))^2 * (x+11)^12-2 = (12/(x+11))^2 * (x+11)^10.

Заменяя x на нашу найденную точку -11/12, мы получаем вторую производную в этой точке. Если она положительна, это будет указывать на максимум, а если отрицательна - на минимум. В данном случае, вторая производная положительна, поэтому точка -11/12 является максимумом функции.

Теперь мы можем найти значение y в этой точке, подставив x = -11/12 в исходную функцию y=ln(x+11)^12-12x. Получаем y = ln((-11/12)+11)^12 - 12 * (-11/12).

После вычислений мы получаем значение y ≈ 14.197.

Таким образом, максимальное значение функции y=ln(x+11)^12-12x на интервале [-10,5] равно примерно 14.197.

Совет:
Для лучшего понимания того, как найти максимум функции, рекомендуется изучить темы дифференцирования и экстремумов функций. Практическая работа с примерами и упражнениями поможет закрепить эти знания.

Закрепляющее упражнение:
Найдите минимальное значение функции y = 2x^2 + 5x - 3 на интервале [-3, 1].