Какое является минимальным значением выражения 16x^2+25x^2, если 4x+5y=40?

Тема урока: Решение квадратного уравнения

Объяснение: Для решения данной задачи, нам необходимо найти минимальное значение выражения 16x^2 + 25y^2 при условии, что 4x + 5y = 40.

Используя данное уравнение, мы можем выразить одну переменную через другую. Решим его относительно x: 4x + 5y = 40. Вычтем 5y из обеих сторон: 4x = 40 - 5y. Затем поделим обе стороны на 4: x = (40 - 5y) / 4.

Теперь, зная значение x, мы можем подставить его в данное выражение и получить функцию от y:

f(y) = 16( (40 - 5y)/4 )^2 + 25y^2.

Для нахождения минимального значения данного выражения, нам необходимо найти точку экстремума, где производная функции равна нулю. Дифференцируем данную функцию: f"(y) = 0.

Находим производную функции f(y) и приравниваем ее к нулю:

32(40 - 5y)/4 - 16(40 - 5y)^2/8 + 50y = 0.

Упрощаем полученное уравнение и решаем его относительно y, чтобы получить значение y, соответствующее минимальному значению выражения.

Теперь, когда мы знаем значение y, мы можем подставить его в изначальное уравнение 4x + 5y = 40 и решить его относительно x, чтобы получить значение x.

Доп. материал:
Выражение 16x^2 + 25y^2 достигает минимального значения, когда x = 1 и y = 6. Найдите это значение.

Совет: При решении данной задачи, важно быть внимательным и последовательно применять шаги решения уравнения. При необходимости, можно использовать калькулятор для более точных вычислений.

Дополнительное упражнение:
Решите квадратное уравнение 9x^2 - 6x + 1 = 0 и найдите его корни.

Тема урока: Минимум выражения 16x^2 + 25y^2 при условии 4x + 5y = 40.

Объяснение: Для нахождения минимального значения данного выражения необходимо использовать метод подстановки или графический метод. Давайте воспользуемся методом подстановки.

Исходя из условия задачи, у нас есть система уравнений:
4x + 5y = 40
16x^2 + 25y^2 = ?

Мы можем выразить одну переменную через другую из первого уравнения. Решим первое уравнение относительно y:
5y = 40 - 4x
y = (40 - 4x) / 5

Теперь, подставим это значение в выражение 16x^2 + 25y^2:
16x^2 + 25((40 - 4x) / 5)^2

Упростим это выражение:
16x^2 + 25(8 - 1.6x + 0.16x^2)

Раскроем скобки:
16x^2 + 200 - 40x + 4x^2

Соберем все слагаемые:
20x^2 - 40x + 200

Теперь у нас есть квадратное уравнение. Чтобы найти минимальное значение, мы можем использовать формулу дискриминанта. Дискриминант (D) равен -b^2ac. Подставим значения a=20, b=-40 и c=200 в формулу и найдем D.

D = (-40)^2 - 4 * 20 * 200 = 1600 - 16000 = -14400

Так как дискриминант отрицательный, это означает, что уравнение не имеет действительных корней, и следовательно, минимальное значение не существует.

Например: Решите следующую задачу: Какое является минимальным значением выражения 16x^2 + 25y^2, если 4x + 5y = 40?

Задание: Используя метод подстановки, найдите минимальное значение выражения 9x^2 + 16y^2 при условии 3x + 4y = 24.