Какое уравнение описывает плоскость, если точка А(1; -1; 3) является основанием перпендикуляра, проведенного из начала

Тема: Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку

Объяснение: Чтобы найти уравнение плоскости, проходящей через заданную точку, необходимо использовать нормальный вектор этой плоскости. Нормальный вектор перпендикулярен плоскости и его можно найти, используя информацию о заданной точке и точке, через которую должен проходить перпендикуляр.

Для начала, найдем направляющий вектор из начала координат К до заданной точки А. Вычтем координаты точки К (0,0,0) из координат точки А (1,-1,3):

Вектор = А - К = (1, -1, 3) - (0, 0, 0) = (1, -1, 3)

Этот вектор будет лежать на искомой плоскости. Чтобы получить нормальный вектор плоскости, мы можем использовать вектор, являющийся его обратным. Векторы (1, -1, 3) и (-1, 1, -3) будут коллинеарными исходному вектору, но направленными в противоположную сторону.

Теперь, когда у нас есть нормальный вектор (например, вектор (-1, 1, -3)), мы можем записать уравнение плоскости в виде Ax + By + Cz + D = 0, где A, B, C и D - это коэффициенты при переменных x, y, z и свободный член соответственно.

Подставим координаты точки А и нормального вектора в уравнение и найдем свободный член D:

(-1)(1) + (1)(-1) + (-3)(3) + D = 0

-1 - 1 - 9 + D = 0

D = 11

Таким образом, уравнение плоскости, проходящей через точку А(1, -1, 3), будет иметь вид:

x - y - 3z + 11 = 0

Например: Найти уравнение плоскости, проходящей через точку В(2, 4, -5), если плоскость перпендикулярна вектору (2, -1, 3).

Совет: При решении задач по уравнениям плоскостей помните, что для получения нормального вектора плоскости можно использовать векторы, коллинеарные данному, но направленные в противоположную сторону.

Проверочное упражнение: Найдите уравнение плоскости, проходящей через точку С(-3, 2, -1), перпендикулярной векторам (1, 0, 2) и (0, 1, -1).