Какое наименьшее значение принимает функция y=e^-10-x *( x^2+10x-10) на интервале [-13

Суть вопроса: Нахождение минимального значения функции

Разъяснение: Чтобы найти наименьшее значение функции, нам нужно найти минимум функции. Для этого мы должны проанализировать форму функции и найти точку, в которой происходит переход от убывания к возрастанию (поворотной точки).

Для данной функции y=e^(-10-x) * (x^2+10x-10), чтобы найти точку поворота, нам необходимо найти её производную и приравнять её к нулю. Это позволит нам найти место, где график функции изменяет свое направление.

Производная функции y=e^(-10-x) * (x^2+10x-10) будет равна:

y" = e^(-10-x) * (2x+10) - e^(-10-x) * (x^2+10x-10)

Приравняем её к нулю и решим уравнение:

e^(-10-x) * (2x+10) - e^(-10-x) * (x^2+10x-10) = 0

Упростим это уравнение:

2x+10 - (x^2+10x-10) = 0

x^2 - 8x + 20 = 0

Решим это квадратное уравнение и найдем значения x:

x1 = (8 + √(8^2 - 4*1*20)) / 2*1
x1 = (8 + √(64 - 80)) / 2
x1 = (8 + √(-16)) / 2
x1 = (8 + 4i) / 2
x1 = 4 + 2i

x2 = (8 - √(8^2 - 4*1*20)) / 2*1
x2 = (8 - √(64 - 80)) / 2
x2 = (8 - √(-16)) / 2
x2 = (8 - 4i) / 2
x2 = 4 - 2i

Таким образом, у нас есть два комплексных корня, исключим их из рассмотрения, так как мы ищем минимальное значение на интервале [-13, ∞).

Подставим интересующие значения x в исходную функцию для нахождения y:

y1 = e^-10-(4+2i) * ((4+2i)^2 + 10(4+2i) - 10)
y2 = e^-10-(4-2i) * ((4-2i)^2 + 10(4-2i) - 10)

Поскольку исходная функция имеет комплексные корни, также получим комплексные значения y. На интервале [-13, ∞) найдем минимальное значение, игнорируя комплексные числа.

Совет: Если после перехода к комплексным числам результат не является действительным числом, его следует исключить из рассмотрения.

Дополнительное упражнение: Найдите минимальное значение функции y=e^(-2x) * (x^2+4x-1).

Название: Минимальное значение функции на интервале

Объяснение: Чтобы найти наименьшее значение функции на заданном интервале, мы должны использовать процесс оптимизации. В данном случае у нас задана функция y=e^(-10-x) * (x^2+10x-10), а интервал [-13, +∞).

Шаг 1: Найдём критические точки, где наша функция может достигать экстремума. Для этого вычислим производную функции и приравняем ее к нулю.

y" = 0
- (10 - x)e^(-10 - x)(x^2 + 10x - 10) + e^(-10 - x)(2x + 10) = 0

Шаг 2: Решим получившееся уравнение для нахождения критических точек.

-10e^-10 + xe^-10 + 10e^-10 - xe^-10 - 10e^-10 = 0
20e^-10 = xe^-10
x = 20

Шаг 3: Проверим, является ли найденная точка критической или минимальной. Для этого возьмем вторую производную функции.

y"" = 0
- (20e^-10 - 1)e^-10(x^2 + 10x - 10) + e^-10(- (10 - x)(x^2 + 10x - 10) + (2x + 10)(2x + 10)) = 0

Шаг 4: Найденная точка x=20 является точкой минимума, так как вторая производная y"" > 0.

Дополнительный материал: Найдите минимальное значение функции y=e^(-10-x)*(x^2+10x-10) на интервале [-13, +∞).

Совет: При решении задач, связанных с определением экстремумов функции, всегда начинайте с нахождения критических точек, а затем выполняйте проверку с помощью второй производной, чтобы определить, является ли точка экстремумом и какого типа она является.

Задача на проверку: Найдите минимальное значение функции y = e^(-5x) * (2x^2 + 6x + 1) на интервале [-10, +∞).