Какое наибольшее значение имеет функция f(x)=3x(5)-20x(3)-13 на отрезке [-6;1]?

Тема вопроса: Максимальное значение функции на заданном интервале

Пояснение: Чтобы найти наибольшее значение функции на заданном интервале, мы должны следовать нескольким шагам. В данном случае у нас есть функция f(x) = 3x^5 - 20x^3 - 13, а мы должны найти ее максимальное значение на интервале [-6;1].

1. Начнем с нахождения производной функции. Производная поможет нам определить, где функция растет и где убывает. Для нашей функции f(x) первая производная будет f"(x) = 15x^4 - 60x^2.

2. Найдем критические точки, где производная равна нулю или не существует. Для этого приравняем f"(x) к нулю и решим уравнение: 15x^4 - 60x^2 = 0.
Получим x^2(15x^2 - 60) = 0.
Решив это квадратное уравнение, мы найдем две критические точки: x = 0 и x = ±2.

3. Теперь мы должны проверить, как функция меняет свое поведение в окрестности этих критических точек. Чтобы это сделать, можно построить таблицу знаков. Выберем несколько тестовых точек в каждом из трех интервалов, образованных критическими значениями.

-6 -2 0 1
|_________|_____|_____|___|

Определение знака производной:
f"(-3) = 15(-3)^4 - 60(-3)^2 = 1080 > 0 (положительное значение)
f"(-1) = 15(-1)^4 - 60(-1)^2 = -45 < 0 (отрицательное значение)
f"(0.5) = 15(0.5)^4 - 60(0.5)^2 = -10.5 < 0 (отрицательное значение)

Используя данные из таблицы знаков, можно сделать вывод, что функция растет на интервалах (-∞, -2) и (0, +∞), а убывает на интервалах (-2, 0).

4. Наконец, определим наибольшее значение функции на заданном интервале [-6, 1]. Для этого мы можем найти значения функции в крайних точках (-6 и 1), а также в критических точках (-2 и 0). Затем выберем наибольшее значение из этих четырех значений функции.

f(-6) = 3(-6)^5 - 20(-6)^3 - 13 ≈ -4657
f(-2) = 3(-2)^5 - 20(-2)^3 - 13 ≈ -23
f(0) = 3(0)^5 - 20(0)^3 - 13 = -13
f(1) = 3(1)^5 - 20(1)^3 - 13 ≈ -30

Таким образом, наибольшее значение функции на интервале [-6, 1] равно -13.

Совет: Для более легкого понимания и решения задачи, помните, что максимальное значение функции может быть достигнуто в точках, где ее производная равна нулю или не существует. Найдите эти критические точки и определите, как функция меняет свое поведение в окрестностях этих точек, используя анализ знаков производной.

Задание для закрепления: Найдите наибольшее значение функции g(x) = x^3 - 4x^2 + 5x на интервале [-2, 3].

Суть вопроса: Максимальное значение функции на отрезке

Описание: Чтобы найти максимальное значение функции на данном отрезке, мы должны сперва найти критические точки - точки, где значение функции может меняться. Критические точки могут быть либо внутри отрезка, либо на его границах.

Для данной функции f(x) = 3x^5 - 20x^3 - 13 мы можем найти критические точки, находя производную функции и приравнивая ее к нулю. Найденные значения x будут потенциальными критическими точками.

f"(x) = 15x^4 - 60x^2
15x^4 - 60x^2 = 0
15x^2(x^2 - 4) = 0
x^2(x + 2)(x - 2) = 0

Отсюда мы видим, что x может быть равным 0, -2 или 2. Однако, нам также дано, что исследуемый отрезок [-6; 1], поэтому мы отбрасываем значение x = 2 как не находящееся внутри данного отрезка.

Теперь, для определения, где функция достигает своего максимального значения, мы можем просто вычислить значение функции для каждой из оставшихся критических точек (x = 0 и x = -2), а также для границ отрезка (-6 и 1), и выбрать наибольшее из них.

f(-6) = 3*(-6)^5 - 20*(-6)^3 - 13
f(-6) = -2197

f(-2) = 3*(-2)^5 - 20*(-2)^3 - 13
f(-2) = -33

f(0) = 3*(0)^5 - 20*(0)^3 - 13
f(0) = -13

f(1) = 3*(1)^5 - 20*(1)^3 - 13
f(1) = -30

Самое большое значение функции f(x) на отрезке [-6; 1] равно -13.

Совет: Для нахождения критических точек функции, всегда начинайте с нахождения производной и приравнивания ее к нулю. Используйте заданный отрезок для определения, в каких точках следует проверить значение функции.

Проверочное упражнение: Найдите наибольшее значение функции g(x) = x^3 - 6x^2 на отрезке [0; 4].