Какое наибольшее количество двоичных слов длины 10 (последовательностей из десяти нулей и единиц) можно выбрать

Содержание вопроса: Количество двоичных слов длины 10 с определенными условиями

Описание: Чтобы решить задачу, нам необходимо определить наибольшее количество двоичных слов длины 10, которые отличаются друг от друга по крайней мере в двух позициях.

Для начала давайте рассмотрим, сколько двоичных слов общей длины 10 можно составить. Каждая позиция слова может быть заполнена либо нулем, либо единицей, поэтому у нас есть два возможных варианта для каждой позиции. Таким образом, общее количество двоичных слов длины 10 равно 2 в степени 10 (2^10), что равно 1024.

Однако, нам нужно выбрать только те слова, которые отличаются друг от друга по крайней мере в двух позициях. Для этого возьмем первое слово и оставим его без изменений. Затем выберем одну из позиций и поменяем ее значение на противоположное (например, если в позиции 3 была 0, теперь она будет 1). Таким образом, мы создаем слово, которое отличается от исходного слова по крайней мере в двух позициях.

Мы можем продолжить этот процесс, выбирая новую позицию и меняя ее значение, пока не достигнем максимального количества слов, удовлетворяющих условию. Очевидно, что количество таких слов будет равно количеству возможных выборов позиций для изменения умноженному на количество способов изменения каждой позиции.
Выбор позиций можно производить по формуле комбинаторики "С(n, k)", где n = 10 - количество позиций в слове, а k = 2 - количество позиций, которые мы выбираем для изменения.
Таким образом, количество слов, удовлетворяющих заданному условию, равно С(10, 2) * 2^2 = 45 * 4 = 180.

Таким образом, наибольшее количество двоичных слов длины 10, которые отличаются друг от друга по крайней мере в двух позициях, равно 180.

Например: Сколько двоичных слов длины 8 можно выбрать так, чтобы каждое из выбранных слов отличалось от любого другого слова по крайней мере в двух позициях?

Совет: Для решения этой задачи важно хорошо понимать комбинаторику и использовать соответствующие формулы. Определите количество позиций, которые вы собираетесь изменить, и примените формулу комбинаторики для вычисления количества слов, удовлетворяющих условию.

Упражнение: Какое наибольшее количество двоичных слов длины 12 можно выбрать так, чтобы каждое из выбранных слов отличалось от любого другого слова по крайней мере в трех позициях?