Какое минимальное значение имеет выражение 15(x^2-x+1)/(x^2+x+1)(x^2-x)^2?

Тема занятия: Возведение в степень и решение уравнений.

Объяснение:

Для нахождения минимального значения выражения нам нужно использовать некоторые известные свойства алгебры. Рассмотрим данное выражение пошагово.

1. Начнем с решения знаменателя: (x^2+x+1)(x^2-x)^2. Разложим его на множители:

(x^2+x+1)(x^2-x)^2 = (x^2+x+1)(x^4-2x^3+x^2).

2. Теперь рассмотрим числитель: 15(x^2-x+1). Мы просто умножаем это выражение на 15.

3. Теперь подставим разложенные выражения обратно в исходное выражение:

15(x^2-x+1)/(x^2+x+1)(x^2-x)^2 = (15(x^2-x+1))/( (x^2+x+1)(x^4-2x^3+x^2) ).

4. Как видим, дальше упрощать выражение нам не удастся, поэтому давайте рассмотрим его поведение при различных значениях x.

a) Если x = 0, то выражение становится неопределенным, так как мы делим на ноль.

b) Если x = 1, то все множители будут равны 1, и выражение будет равно 15.

c) Если x = -1, то некоторые множители становятся равными нулю, и выражение также становится неопределенным.

Таким образом, минимальное значение выражения равно 15 (при x = 1).

Совет:

Для понимания решения данной задачи полезно уметь разложить многочлен на множители и знать основные свойства алгебры. Обратите внимание на ноль в знаменателе, так как он может привести к неопределенности выражения.

Задание для закрепления:

Найдите максимальное значение выражения 20(x^3 - 2x^2 - 3x + 5) / (x^2 - 1)(x^3 - x), и определите при каких значениях x это значение достигается.