Какое максимальное значение можно получить для x+y, если x и y являются решениями системы уравнений ax–by=1, bx+ay=2

Тема занятия: Решение системы уравнений с условием

Пояснение: Для решения данной задачи вам необходимо решить систему уравнений и найти значения переменных x и y, затем найти сумму значений x и y. Для начала, давайте разберемся, как найти значения x и y.

Мы имеем следующую систему уравнений:
a*x – b*y = 1
b*x + a*y = 2

У нас также есть условие a² + b² = 1.

Сначала решим одно из уравнений относительно одной переменной, а затем подставим это значение во второе уравнение.

Выразим x из первого уравнения:
a * x = 1 + b * y
x = (1 + b * y) / a

Подставим это значение x во второе уравнение:
b * ((1 + b * y) / a) + a * y = 2
b + b² * y / a + a * y = 2
b + (b² + a²) * y / a = 2
b + y(a² + b²) / a = 2

Так как a² + b² = 1, мы можем упростить данное уравнение:
b + y / a = 2
y / a = 2 - b
y = (2 - b) * a

Теперь у нас есть выражение для y через a и b. Подставим это выражение в первое уравнение и найдем x:
a * x - b * ((2 - b) * a) = 1
a * x - 2ab + b² * a = 1
a * x + b² * a - 2ab = 1
a * x + a(b² - 2b) = 1
a * x = 1 - a(b² - 2b)
x = (1 - a(b² - 2b)) / a

Теперь мы нашли значения x и y через a и b. Найдем их сумму:
x + y = ((1 - a(b² - 2b)) + (2 - b) * a) / a

Упростим данное выражение:
x + y = (1 - ab² + 2ab + 2a - ba) / a
x + y = (1 + a - ba + 2ab - ab²) / a
x + y = (1 + a + ab(2 - b)) / a

Продолжим упрощение:
x + y = (1 + a * (1 + b(2 - b))) / a
x + y = 1 + b(2 - b)

В итоге, максимальное значение выражения x + y равно 1 + b(2 - b).

Дополнительный материал: Найдите максимальное значение выражения x + y, если a = 2 и b = 1.

Решение:
Подставим a = 2 и b = 1 в выражение x + y:
x + y = 1 + b(2 - b)
x + y = 1 + 1(2 - 1)
x + y = 1 + 1
x + y = 2

Таким образом, максимальное значение выражения x + y равно 2 для данных значений a = 2 и b = 1.

Совет: Для решения данной задачи важно правильно подставлять значения переменных и уметь упрощать выражения с помощью алгебраических действий. Также следует обратить внимание на то, что исходная система уравнений имеет дополнительное условие, которое необходимо использовать при упрощении выражений.

Задача на проверку: Найдите максимальное значение выражения x + y, если a = 3 и b = 2.