Какое из двух положительных чисел является наибольшим, чтобы минимизировать сумму квадратов одного из них и удвоенного

Тема: Максимизация суммы чисел

Объяснение: Давайте предположим, что у нас есть два положительных числа, обозначим их через x и y. Нам нужно найти такие значения x и y, чтобы минимизировать сумму квадратов одного из них и удвоенного квадрата другого, при условии, что их сумма равна 15. Давайте составим уравнение, используя данную информацию.

Из условия задачи, мы знаем, что x + y = 15. Решим это уравнение относительно x или y, чтобы найти одну переменную через другую и подставим ее обратно в исходное выражение. Допустим, мы выразим x через y: x = 15 - y.

Теперь мы можем сформулировать нашу цель. Нам нужно найти максимальное значение выражения x^2 + 2y^2.

Заменим x в этом выражении: (15 - y)^2 + 2y^2. Теперь у нас есть функция, зависящая только от одной переменной y. Мы можем продолжить и найти максимальное значение этой функции.

Для определения наибольшего значения функции с одной переменной нам нужно найти ее максимум или минимум. В нашем случае, так как у функции положительный коэффициент перед y^2, мы ищем минимум. Чтобы найти минимум функции, мы можем использовать производную.

Производная функции (15 - y)^2 + 2y^2 равна -2(15 - y) + 4y.

Чтобы найти экстремум, приравняем производную к нулю и решим уравнение: -2(15 - y) + 4y = 0.

Раскрыв скобки и упростив уравнение, получим -30 + 6y + 4y = 0.

Сгруппируйте переменные и получим 10y - 30 = 0.

Теперь решим уравнение и найдем значение y: 10y = 30, y = 3.

Теперь найдем соответствующее значение x, используя уравнение x = 15 - y: x = 15 - 3, x = 12.

Итак, чтобы минимизировать сумму квадратов одного из чисел и удвоенного квадрата другого, при условии, что их сумма равна 15, наибольшим числом должно быть 12.

Пример использования: Пусть одно число равно x, а другое равно y. Тогда уравнение будет выглядеть следующим образом: x + y = 15. Чтобы найти значение x в зависимости от y, мы можем переписать это уравнение как x = 15 - y. Далее, нам нужно минимизировать выражение x^2 + 2y^2, используя найденное значение x. Для этого мы можем рассчитать значение этой функции, подставив x = 15 - y: (15 - y)^2 + 2y^2. Полученное значение будет показывать, насколько близка сумма квадратов к минимуму при заданной сумме чисел 15. С помощью алгоритма, описанного выше, мы можем найти значение y, при котором сумма квадратов будет минимальной.

Совет: Для понимания этой задачи лучше изобразить график функции x^2 + 2y^2 при фиксированной сумме x + y = 15. Выберите несколько значений y, подставьте их в уравнение x = 15 - y и найдите соответствующие значения x. Затем подставьте найденные значения x и y в выражение x^2 + 2y^2 и найдите соответствующие значения суммы квадратов. Увидев график и проведя несколько итераций, вы сможете заметить, что минимальное значение суммы квадратов достигается при определенных значениях x и y.

Упражнение: Найдите наибольшее значение x, которое минимизирует сумму квадратов при условии, что x + y = 20. (Ответ: 10)