Каким образом можно решить следующее тригонометрическое уравнение: 7sin2x+3cos2x+7=0?

Тема урока: Решение тригонометрического уравнения

Пояснение: Для решения данного тригонометрического уравнения, мы будем использовать основные тригонометрические идентичности и свойства.

1. Применим идентичность sin^2(x) + cos^2(x) = 1. Для этого заменим sin^2(x) на (1 - cos^2(x)) в исходном уравнении:

7(1 - cos^2(x)) + 3cos^2(x) + 7 = 0.

2. Раскроем скобки и сгруппируем похожие слагаемые:

7 - 7cos^2(x) + 3cos^2(x) + 7 = 0.

3. Объединим члены с cos^2(x):

-4cos^2(x) + 14 = 0.

4. Поделим уравнение на -1 для удобства:

4cos^2(x) - 14 = 0.

5. Перенесем -14 на другую сторону уравнения:

4cos^2(x) = 14.

6. Разделим обе стороны уравнения на 4:

cos^2(x) = 14/4.

7. Упростим дробь:

cos^2(x) = 7/2.

8. Возьмем квадратный корень от обеих сторон:

cos(x) = ±√(7/2).

9. Чтобы найти значения x, найдем обратный косинус от полученных значений:

x = arccos(±√(7/2)).

Доп. материал: Решите уравнение 7sin^2(x) + 3cos^2(x) + 7 = 0.

Совет: Перед решением тригонометрических уравнений, полезно знать основные тригонометрические идентичности и свойства. Упрощайте уравнение, заменяя тригонометрические функции выражениями с помощью идентичностей. Запишите уравнение в самом простом виде, сгруппируйте похожие слагаемые и приведите его к стандартному виду. Обратите внимание на ограничения на диапазон значений переменной при решении уравнения.

Задание для закрепления: Решите уравнение 2sin^2(x) + cos(x) - 1 = 0.