Какие значения параметра p приводят к уравнению x^3-3px+16=0 имеющему только два различных корня?

Тема: Уравнения вида x^3 - 3px + 16 = 0 с двумя различными корнями

Пояснение: Для того чтобы уравнение x^3 - 3px + 16 = 0 имело только два различных корня, нужно что бы третий корень равнялся одному из двух различных корней.

Давайте решим это уравнение с помощью метода Рациональных корней:
1. Из уравнения видно, что коэффициент при x^3 равен 1, а свободный член равен 16. Значит, рациональные корни этого уравнения могут быть только целыми числами, делящимися на 16.
2. Подставим первый рациональный корень x = -1 в уравнение. Получаем (-1)^3 - 3p(-1) + 16 = -1 + 3p + 16 = 0. Упрощаем это выражение и получаем 3p + 15 = 0. Отсюда находим значение параметра p: p = -15/3 = -5.
3. Теперь подставим второй рациональный корень x = -2 в уравнение. Получаем (-2)^3 - 3p(-2) + 16 = -8 + 6p + 16 = 0. Упрощаем это выражение и получаем 6p + 8 = 0. Отсюда находим значение параметра p: p = -8/6 = -4/3.

Таким образом, только два значения параметра p, а именно p = -5 и p = -4/3, приведут к уравнению x^3 - 3px + 16 = 0 с двумя различными корнями.

Совет: Чтобы лучше понять и запомнить процесс решения этой задачи, рекомендуется понимать, как работает метод Рациональных корней и знакомиться с принципами факторизации.

Задача для проверки: Решите уравнение x^3 - 4x + 3 = 0 с помощью метода Рациональных корней и определите значение параметра p, при котором уравнение имеет два различных корня.

Тема занятия: Решение уравнений третьей степени с двумя различными корнями

Разъяснение:
Уравнение третьей степени имеет вид ax^3 + bx^2 + cx + d = 0, где a, b, c и d - это коэффициенты, а x - переменная. Для нахождения значений параметра p, при которых данное уравнение имеет только два различных корня, мы должны использовать теорему Виета.

Согласно теореме Виета, сумма корней уравнения третьей степени равна -b/a, а их произведение равно -d/a.

В данном уравнении, сумма корней будет иметь вид x1 + x2 + x3, где x1, x2 и x3 - корни уравнения. Мы хотим, чтобы это выражение давало два различных значения. Значит, третий корень должен быть равен сумме двух других корней.

Таким образом, условие для уравнения с двумя различными корнями будет следующим:
x1 + x2 + x3 = 2(x1 + x2)

Подставим уравнение и упростим его:
x3 = x1 + x2

Теперь, подставив это в уравнение x^3 - 3px + 16 = 0, мы получим:
x1 + x2 + x1 + x2 - 3px1 = 0

Упрощая данное выражение, мы получаем:
2x1 + 2x2 - 3px1 = 0
(2 - 3p)x1 + (2 - 3p)x2 = 0

Для того, чтобы это уравнение имело только два различных корня, коэффициенты при x1 и x2 должны быть равными нулю. Таким образом, получаем следующее условие:
2 - 3p = 0

Решив это уравнение, мы найдем значение параметра p, которое приводит к уравнению x^3 - 3px + 16 = 0 имеющему только два различных корня:
p = 2/3

Пример:
Уравнение x^3 - 3px + 16 = 0 имеет только два различных корня. Найдите значения параметра p.

Совет:
Чтобы лучше понять теорему Виета и решение уравнений третьей степени, рекомендуется найти дополнительные задачи по этой теме и потренироваться в решении их. Также стоит изучить процесс факторизации и использовать его, если это возможно, для решения уравнений третьей степени.

Задача на проверку:
Решите уравнение x^3 - 5px + 8 = 0, при условии, что оно имеет только два различных корня. Найдите значения параметра p.