Какие значения параметра а должны быть, чтобы уравнение (x^2 + 4x - a)/(15x^2 - 8ax + a^2) = 0 имело ровно

Суть вопроса: Решение квадратных уравнений

Разъяснение: Чтобы уравнение имело два различных решения, необходимо, чтобы дискриминант был больше нуля. Давайте разберемся, как получить это условие.

У нас дано уравнение (x^2 + 4x - a)/(15x^2 - 8ax + a^2) = 0. Для начала, давайте приведем дробь к общему знаменателю, чтобы получить квадратное уравнение.

Раскроем скобки в числителе и знаменателе уравнения:

(x^2 + 4x - a)/(15x^2 - 8ax + a^2) = 0

Получим:

(x^2 + 4x - a)/(3x - a)^2 = 0

Теперь, домножим обе части уравнения на квадрат знаменателя (3x - a)^2, так как мы не можем делить на ноль:

(x^2 + 4x - a)*(3x - a)^2 = 0

Раскроем скобки и получим:

(3x^3 - 10ax^2 + 9a^2x - a^3) + (12x^3 - 6ax^2 - 4a^2x + 2a^3) - a*(3x^2 - 2ax + a^2) = 0

Упростим это выражение:

15x^3 - 23ax^2 + 7a^2x - a^3 = 0

Теперь, уравнение приведено к квадратному виду. Для того чтобы имелось два различных решения, необходимо, чтобы дискриминант был больше нуля.

Дискриминант вычисляется по формуле D = b^2 - 4ac, где a = 15, b = -23, c = 7a^2 - a^3.

Подставим значения в формулу:

D = (-23)^2 - 4*15*(7a^2 - a^3)

D = 529 - 60(7a^2 - a^3)

D = 529 - 420a^2 + 60a^3

Нам нужно, чтобы D был больше нуля, поэтому получаем неравенство:

529 - 420a^2 + 60a^3 > 0

Это неравенство мы можем решить, найдя значения параметра а, удовлетворяющие неравенству.

Например: Найти значения параметра а, при которых уравнение (x^2 + 4x - a)/(15x^2 - 8ax + a^2) = 0 имеет два различных решения.

Совет: Чтобы решить неравенство 529 - 420a^2 + 60a^3 > 0, можно воспользоваться методом интервалов, поочередно проверяя значения параметра а. Также, стоит проверить полученные значения в исходном уравнении, чтобы убедиться в их правильности.

Дополнительное упражнение: Найдите значения параметра а, которые удовлетворяют неравенству 529 - 420a^2 + 60a^3 > 0.