Какие утверждения верны для любых ограниченных последовательностей [tex]x_n : : и : : y_n[/tex]? - [tex] sup {x_n

Утверждения для ограниченных последовательностей:

- [tex] \sup\{x_n + y_n\} \leqslant \sup \{x_n\} + \sup \{y_n\} [/tex] - Верно. Супремум (верхняя граница) суммы двух последовательностей не превышает сумму их супремумов. Это может быть основано на том, что сумма любых двух элементов из [tex]x_n + y_n[/tex] не может быть больше, чем сумма двух отдельных супремумов.

- [tex] \sup\{x_n + y_n\} \geqslant \sup \{x_n\} + \sup \{y_n\} [/tex] - Неверно. Вообще говоря, супремум суммы не может быть больше, чем сумма супремумов.

- [tex] \sup\{x_n - y_n\} \leqslant \sup \{x_n\} - \sup \{y_n\} [/tex] - Неверно. Разность двух элементов из [tex]x_n - y_n[/tex] может быть больше, чем разность двух супремумов.

- [tex] \sup\{x_n - y_n\} \geqslant \sup \{x_n\} - \sup \{y_n\} [/tex] - Верно. Супремум разности двух последовательностей не меньше, чем разность их супремумов.

- [tex] \sup\{x_n + y_n\} \leqslant \sup \{x_n\} + \inf \{y_n\} [/tex] - Неверно. В общем случае, супремум суммы не может быть меньше, чем сумма супремума и инфимума.

- [tex] \sup\{x_n + y_n\} \geqslant \sup \{x_n\} + \inf \{y_n\} [/tex] - Верно. Супремум суммы не меньше, чем сумма супремума и инфимума.

- [tex] \sup\{x_n + c\} \ = \sup \{x_n\} + c [/tex] - Верно. При сложении каждого элемента [tex]x_n[/tex] с постоянным значением [tex]c[/tex], супремум также увеличивается на [tex]c[/tex].

- [tex] \sup \{ y_n - x_n \} \leqslant \sup \{y_n\} - \inf \{x_n\} [/tex] - Верно. Супремум разности двух последовательностей не превышает разность супремума второй последовательности и инфимума первой последовательности.

Совет: Для понимания и запоминания этих утверждений полезно представить себе примеры. Например, можно взять две последовательности [tex]x_n[/tex] и [tex]y_n[/tex], сами придумать элементы этих последовательностей и проверить каждое утверждение на практике. Это поможет укрепить понимание и помнить результаты.

Упражнение: Пусть [tex]x_n = \left\{ 1, 2, 3, 4, 5 \right\} [/tex] и [tex]y_n = \left\{ 2, 4, 6, 8, 10 \right\} [/tex]. Проверьте утверждения на данные последовательности.