Какие три разные цифры A, B и C соответствуют шесть чисел ABC и удовлетворяют ребусу: ABAB + BCB = СABA?

Задача: Какие три разные цифры A, B и C соответствуют шесть чисел ABC и удовлетворяют ребусу: ABAB + BCB = СABA?

Решение:
Давайте разберемся с этим ребусом шаг за шагом, чтобы найти значения A, B и C.

Первое число в ребусе - ABAB. Оно имеет следующую структуру: AB * 10 + AB. Мы можем заметить, что это равно 11 * AB, так как AB * 10 это AB сдвинутое влево на одну позицию.

Второе число в ребусе - BCB. Оно имеет следующую структуру: B * 100 + C * 10 + B. Это можно переписать как 101 * B + 10 * C.

Третье число в ребусе - СABA. Оно имееют следующую структуру: C * 1000 + A * 100 + B * 10 + A.

Теперь, заменим значения чисел из уравнения в исходное уравнение:

11 * AB + 101 * B + 10 * C = C * 1000 + A * 100 + B * 10 + A.

Раскроем скобки и упорядочим слагаемые:

11 * AB - A * 100 - A - B - C * 1000 + B * 101 + 10 * C = 0.

Теперь, объединим слагаемые:

(11 * AB - A * 100 - A) + (B * 101 - B) - (C * 1000 - 10 * C) = 0.

Поделим все на 10 и сократим слагаемые:

AB - A + 10 * B - C + 1010 * B - 1000 * C = 0.

Упростим:

AB - A + 1010 * B - 1000 * C - C = 0.

AB - A + 1010 * B - 1001 * C = 0.

Теперь, посмотрим на это уравнение и попытаемся представить его в виде разницы двух чисел.

AB - A можно переписать как A * (B - 1).

1010 * B - 1001 * C можно переписать как 11 * 10 * B - 11 * 91 * C или 11 * (10 * B - 91 * C).

Теперь, уравнение превращается в:

A * (B - 1) + 11 * (10 * B - 91 * C) = 0.

Рассмотрим два случая:

1. A = 0. Если A = 0, тогда уравнение принимает вид:
(0) * (B - 1) + 11 * (10 * B - 91 * C) = 0.
Тут значение A не влияет на уравнение, поэтому мы можем сказать, что A = 0.

2. A ≠ 0. Это означает, что (B - 1) + 11 * (10 * B - 91 * C) = 0, поскольку значение A не может быть нулевым.

Теперь решим это уравнение для B:

(B - 1) + 11 * (10 * B - 91 * C) = 0.

Раскроем скобки:

B - 1 + 110 * B - 1001 * C = 0.

Сгруппируем и упорядочим слагаемые:

111 * B - 1001 * C = 1.

Теперь, решим его для C:

C = (111 * B - 1) / 1001.

Заметим, что C должно быть целым числом, поэтому правая часть должна быть делится на 1001 без остатка.

Теперь, рассмотрим все возможные значения B и найдем соответствующие значения A и C.

B = 1:
C = (111 * 1 - 1) / 1001 = 0.
A = 0.

B = 2:
C = (111 * 2 - 1) / 1001 = 1.
A = 0.

B = 3:
C = (111 * 3 - 1) / 1001 = 2.
A = 0.

B = 4:
C = (111 * 4 - 1) / 1001 = 3.
A = 0.

B = 5:
C = (111 * 5 - 1) / 1001 = 4.
A = 0.

B = 6:
C = (111 * 6 - 1) / 1001 = 5.
A = 0.

B = 7:
C = (111 * 7 - 1) / 1001 = 6.
A = 0.

B = 8:
C = (111 * 8 - 1) / 1001 = 7.
A = 0.

B = 9:
C = (111 * 9 - 1) / 1001 = 8.
A = 0.

Таким образом, мы нашли все три значения: A = 0, B = 1-9 и C = 0-8, которые удовлетворяют условию задачи.