Какие три числа нужно вставить между числами 1/4 и 64, чтобы вместе они образовывали геометрическую прогрессию?

Тема занятия: Геометрическая прогрессия

Объяснение: Геометрическая прогрессия - это последовательность чисел, в которой каждый следующий элемент получается умножением предыдущего элемента на одно и то же число, называемое знаменателем прогрессии или частным. Чтобы найти пропущенные числа между 1/4 и 64, мы должны установить отношение между ними.

Для этого мы можем воспользоваться формулой общего члена:

\[ a_n = a_1 \cdot r^{(n-1)} \]

Где:
- \( a_n \) - n-й член прогрессии
- \( a_1 \) - первый член прогрессии
- \( r \) - знаменатель прогрессии
- \( n \) - номер члена прогрессии

Заметим, что:

\( a_1 = \frac{1}{4} \)
\( a_2 \) - первое пропущенное число
\( a_3 \) - второе пропущенное число
\( a_4 \) - 64

Мы хотим, чтобы данные числа образовывали геометрическую прогрессию, поэтому:

\( \frac{a_2}{a_1} = \frac{a_3}{a_2} = \frac{a_4}{a_3} \)

Теперь нам нужно выразить \( r \) через \( a_1 \) и найти пропущенные числа:

\( \frac{a_2}{\frac{1}{4}} = \frac{a_3}{a_2} = \frac{64}{a_3} \)

\( a_2 = \frac{1}{4} \cdot r \)
\( a_3 = \frac{1}{4} \cdot r \cdot r \)
\( 64 = \frac{1}{4} \cdot r \cdot r \cdot r \)

Мы можем решить эту уравнение для \( r \):

\( \frac{1}{4} \cdot r \cdot r \cdot r = 64 \)
\( r^3 = 256 \)
\( r = 4 \)

Теперь, зная \( r \), мы можем выразить \( a_2 \) и \( a_3 \):

\( a_2 = \frac{1}{4} \cdot 4 = 1 \)
\( a_3 = \frac{1}{4} \cdot 4 \cdot 4 = 4 \)

Таким образом, числа, которые нужно вставить между 1/4 и 64 для образования геометрической прогрессии, это 1 и 4.

Совет: Чтобы понять геометрическую прогрессию, полезно рассмотреть примеры числовых последовательностей и найти их общий знаменатель. Вы также можете использовать формулу общего члена для нахождения различных членов прогрессии.

Задание: Найдите 5-й член геометрической прогрессии, если первый член равен 2, а знаменатель равен 3.