Какие из следующих утверждений верны относительно треугольника ABC и описанной окружности с центром O

Треугольник ABC и описанная окружность с центром O

Инструкция:

1) Утверждение 1: ОП перпендикулярно ВС.
Для проверки данного утверждения необходимо знать следующий факт: в треугольнике ортоцентр (точка пересечения высот треугольника) лежит на описанной окружности. Зная это, можно сделать вывод, что точка пересечения высот треугольника (П) лежит на описанной окружности с центром O. Также известно, что высота перпендикулярна соответствующей стороне. Из этих фактов следует, что ОП перпендикулярно ВС.

2) Утверждение 2: ОМ=ОК=ОП.
Для проверки данного утверждения нужно знать свойство описанной окружности: хорда, проходящая через центр окружности, равна диаметру окружности. Так как ОМ, ОК и ОП являются радиусами окружности с центром O, они равны друг другу.

3) Утверждение 3: Угол CBO равен углу ABO.
Для проверки данного утверждения нужно знать свойство описанной окружности: центральный угол, опирающийся на дугу, равен половине соответствующего периферийного угла. Как утверждается в задаче, точки A, B и C находятся на окружности с центром O. Угол CBO и угол ABO открывают одну и ту же дугу, поэтому они равны.

4) Утверждение 4: AO=OB=OC.
Для проверки данного утверждения нужно знать свойство описанной окружности: радиус, проведенный к концу хорды, перпендикулярен хорде из центра окружности. В треугольнике ABC точка O является центром описанной окружности, поэтому радиусы AO, BO и CO перпендикулярны соответствующим сторонам треугольника и, следовательно, равны друг другу.

Доп. материал:
Задача: Дан треугольник ABC со сторонами AB = 6, BC = 8, AC = 10. Описанная окружность с центром O пересекает стороны треугольника в точках M, K и P. Проверьте, какие из утверждений 1) ОП перпендикулярно ВС, 2) ОМ=ОК=ОП, 3) Угол CBO равен углу ABO, 4) AO=OB=OC верны.

Совет: В данной задаче полезно знать свойства описанной окружности и треугольника. Рекомендую внимательно изучить эти свойства и примеры их применения для более глубокого понимания.

Дополнительное задание: В треугольнике ABC с описанной окружностью с центром O выполнено утверждение ОМ=ОК=ОP. Докажите, что треугольник ABC - равносторонний.