Какие интервалы функции возрастают и убывают?

Тема урока: Интервалы возрастания и убывания функции

Пояснение: При изучении функций важно понимать, в каких интервалах функция возрастает (растет) и убывает (убывает). Интервалы возрастания - это те участки функции, на которых ее значения увеличиваются. Интервалы убывания - это участки функции, на которых ее значения уменьшаются. Чтобы определить интервалы возрастания или убывания функции, необходимо проанализировать производную функции. Если производная положительна на каком-то интервале, то функция возрастает на данном интервале. Если производная отрицательна на каком-то интервале, то функция убывает на данном интервале. В случае, если производная равна нулю, то это может указывать на экстремумы функции. Знание интервалов, на которых функция возрастает или убывает, позволяет сделать выводы о поведении функции и анализировать ее свойства.

Демонстрация: Дана функция y = x^2 - 3x + 2. Необходимо определить интервалы возрастания и убывания данной функции.

Решение:
1. Найдем производную функции: y" = 2x - 3.
2. Изучим знак производной:
- Если 2x - 3 > 0, то функция возрастает.
- Если 2x - 3 < 0, то функция убывает.
3. Решим неравенство: 2x - 3 > 0.
- Получаем x > 3/2. Это значит, что функция возрастает на интервале (3/2, +∞).
4. Решим неравенство: 2x - 3 < 0.
- Получаем x < 3/2. Это значит, что функция убывает на интервале (-∞, 3/2).

Таким образом, функция y = x^2 - 3x + 2 возрастает на интервале (3/2, +∞) и убывает на интервале (-∞, 3/2).

Совет: Для лучшего понимания интервалов возрастания и убывания функции, рекомендуется провести анализ на более широком диапазоне значений x, а не только на указанных интервалах. Это позволит получить более полную картину поведения функции.

Закрепляющее упражнение: Найдите интервалы возрастания и убывания для функции y = 3x^3 - 9x^2 + 12x.