Какая точка представляет максимум функции y=x^3+15x^2+17?

Тема: Максимум функции

Инструкция: Для того чтобы найти точку максимума функции y=x^3+15x^2+17, мы должны использовать свойство производной.

Шаг 1: Найдите производную функции y=x^3+15x^2+17. Для этого возьмите производную от каждого слагаемого по отдельности. Производная x^n равна n*x^(n-1).

Таким образом, производная данной функции примет следующий вид: y' = 3x^2 + 30x.

Шаг 2: Решите уравнение y' = 0 для определения критических точек функции. Подставим y' = 0, и получим следующее уравнение: 3x^2 + 30x = 0.

Шаг 3: Решите получившееся уравнение. Вынесем общий множитель из левой части уравнения: x(3x + 30) = 0. Получаем два значения x: x = 0 и x = -10.

Шаг 4: Определите, являются ли найденные значения критическими точками максимума или минимума. Для этого проанализируйте знак производной в каждой из областей, полученных при разбиении числовой оси значением x на интервалы (–∞, -10), (-10, 0), (0, +∞).

При x < -10, производная положительна (3x^2 + 30x > 0), что означает, что функция возрастает в этом интервале.

При -10 < x < 0, производная отрицательна (3x^2 + 30x < 0), что означает, что функция убывает в этом интервале.

При x > 0, производная снова положительна (3x^2 + 30x > 0), что означает, что функция возрастает в этом интервале.

Шаг 5: Заключение. Исходя из анализа знака производной, можно сделать вывод, что точка x = -10 представляет максимум функции y=x^3+15x^2+17.

Пример использования: Найдите точку максимума функции y=x^3+15x^2+17.

Совет: При решении данной задачи, всегда полезно проверить полученный ответ, проанализировав знак производной в разных интервалах значений x.

Упражнение: Найдите точку максимума функции y=2x^3-12x^2+9x+2.