Как записать общее решение PDE первого порядка xu_x + yu_y = x^2+ y^2 в области x,y > 0 в явном виде?

Содержание вопроса: Общее решение уравнения PDE первого порядка.

Описание: Дано уравнение PDE первого порядка xu_x + yu_y = x^2+ y^2, и требуется найти общее решение данного уравнения в области x,y > 0 в явном виде.

Для нахождения общего решения данного уравнения, мы воспользуемся методом характеристик. Перепишем уравнение в следующем виде: dy/dx = y/x - x.

Мы видим, что данное уравнение является сепарабельным. Теперь решим данное дифференциальное уравнение по отдельности.

Интегрируя уравнение dy/dx = (y/x) - x, получим:

ln|y| = ln|x| - (x^2)/2 + C,

где C - произвольная постоянная.

Применяя экспоненту к обеим частям уравнения, получим:

|y| = e^(ln|x| - (x^2)/2 + C),
|y| = e^(ln|x| - (x^2)/2) * e^C,
|y| = K * e^(ln|x| - (x^2)/2),

где K = e^C - произвольная постоянная.

Таким образом, общее решение уравнения PDE первого порядка xu_x + yu_y = x^2+ y^2 в области x,y > 0 в явном виде имеет вид:
|y| = K * e^(ln|x| - (x^2)/2).

Совет: Для успешного решения уравнений PDE первого порядка, хорошим подходом будет ознакомиться с теорией и примерами решений данного типа уравнений, чтобы лучше понять применяемые методы.

Закрепляющее упражнение: Найдите общее решение для следующего уравнения PDE: xu_x + yu_y = 2xy.