Как упростить данное выражение: Tg^2a - sin^2a ——————— - (tg^6a-7) Ctg^2a- cos^2a?

Тема урока: Упрощение выражения

Пояснение: Для упрощения данного выражения, мы воспользуемся тригонометрическими тождествами. Первым шагом заменим тангенс и котангенс на соответствующие отношения синуса и косинуса, используя следующие тождества:

tg^2a = sin^2a / cos^2a
ctg^2a = cos^2a / sin^2a

После замены получим:

(sin^2a / cos^2a) - sin^2a - [tg^6a - 7] * (cos^2a / sin^2a) - cos^2a

Затем проведем операции умножения в скобках:

(sin^2a / cos^2a) - sin^2a - (tg^6a * cos^2a / sin^2a) + (7 * cos^2a / sin^2a) - cos^2a

Следующим шагом упростим каждую часть выражения по отдельности:

(sin^2a / cos^2a - cos^2a / sin^2a) - sin^2a + 7 * (cos^2a / sin^2a) - cos^2a

Далее, объединим дроби:

[(sin^4a - cos^4a) / (cos^2a * sin^2a)] - sin^2a + 7 * (cos^2a / sin^2a) - cos^2a

Теперь, выполним операции сложения и вычитания:

[(sin^4a - cos^4a) / (cos^2a * sin^2a)] - (cos^2a + sin^2a) + 7 * (cos^2a / sin^2a)

Сократим одинаковые выражения:

[(sin^4a - cos^4a) / (cos^2a * sin^2a)] - 1 + 7 * (cos^2a / sin^2a)

Полученное выражение уже упрощено и итоговый ответ:

[(sin^4a - cos^4a) / (cos^2a * sin^2a)] - 1 + 7 * (cos^2a / sin^2a)

Доп. материал: Найти упрощенное выражение для Tg^2a - sin^2a ——————— - (tg^6a-7) Ctg^2a- cos^2a.

Совет: Чтобы упростить подобные выражения, полезно знать основные тригонометрические тождества и их преобразования. Также, не забывайте упрощать каждую часть выражения по отдельности, объединять одинаковые выражения и проводить необходимые операции сложения и вычитания.

Закрепляющее упражнение: Упростите выражение: Sin^4x - Cos^4x / ( 1 + Sin^2x + Cos^2x)