Как решить неравенство 13–5·3^x / (9^x–12·3^x+27) ≥ 0.5 (^-степень)?

Неравенство с показателями:

Начнем с решения неравенства: 13 - (5 * 3^x) / (9^x - 12 * 3^x + 27) ≥ 0.5.

Прежде чем продолжить, давайте определим некоторые детали. В данном случае, x - это показатель степени, 3 - это основание степени, и ^ - обозначает возведение в степень.

Чтобы решить это неравенство, мы можем воспользоваться следующими шагами:

1. Приведем неравенство к общему знаменателю, чтобы получить единый дробный вид. Умножим числитель неравенства на (9^x - 12 * 3^x + 27):

13 * (9^x - 12 * 3^x + 27) - (5 * 3^x) ≥ 0.5 * (9^x - 12 * 3^x + 27)

2. Раскроем скобки, упростим выражение и соберем все слагаемые:

117^x - 60 * 3^x + 351 - 5 * 3^x ≥ 4.5^x - 6 * 3^x + 13.5

3. Перенесем все слагаемые содержащие x на одну сторону неравенства, а все остальные слагаемые на другую:

117^x - 65 * 3^x + 351 - 4.5^x + 6 * 3^x ≤ 13.5

4. Объединим все слагаемые схожего вида:

(117^x - 4.5^x) + (-65 * 3^x + 6 * 3^x) + 351 ≤ 13.5

5. Продолжим упрощать выражение:

112.5^x + (-59 * 3^x) + 351 ≤ 13.5

6. Отнимем 351 с обеих сторон неравенства:

112.5^x + (-59 * 3^x) ≤ -337.5

7. Заменим -337.5 на 337.5 с противоположным знаком:

112.5^x + (-59 * 3^x) ≤ 337.5

Таким образом, решением исходного неравенства является:

112.5^x + (-59 * 3^x) ≤ 337.5

Например: Решите неравенство 13–5·3^x / (9^x–12·3^x+27) ≥ 0.5.

Совет: При решении неравенств с показателями степени, обычно полезно приводить неравенство к общему знаменателю и собирать слагаемые содержащие x на одной стороне, чтобы осталась только одна дробь.

Задача на проверку: Решите неравенство 4^x / (2^x + 3^x) < 1.