Как определить область допустимых значений функций, область значений и корни функций?

Тема занятия: Определение области допустимых значений функций, области значений и корней функций

Разъяснение:
Областью допустимых значений (ОДЗ) функции называется множество всех значений, которые может принимать аргумент функции при условии, что функция определена. ОДЗ зависит от типа функции и ограничений, которые накладываются на аргумент. Например, для функции f(x) = √x, ОДЗ будет x ≥ 0, так как извлечение квадратного корня из отрицательного числа невозможно.

Областью значений (ОЗ) функции называется множество всех значений, которые может принимать функция при всех возможных значениях аргумента из ОДЗ. ОЗ также зависит от типа функции и может быть ограниченным или неограниченным. Для функции f(x) = x^2, ОЗ будет y ≥ 0, так как любое неотрицательное число можно получить возводя в квадрат некоторое значение.

Корнем функции называется такое значение аргумента, при котором функция обращается в ноль. Для нахождения корней функции, необходимо приравнять функцию к нулю и решить полученное уравнение. Например, для функции f(x) = x^2 - 4, корнем будет x = ±2.

Например:
Задание: Найдите ОДЗ, ОЗ и корни функции f(x) = 1/(x-3).

Решение:
1) ОДЗ: Функция f(x) = 1/(x-3) будет определена при любых значениях x, кроме x = 3, так как в этом случае знаменатель становится равным нулю, что приводит к делению на ноль. Таким образом, ОДЗ: x ≠ 3.
2) ОЗ: Функция f(x) = 1/(x-3) принимает все действительные значения, за исключением нуля, так как любое ненулевое число можно получить в результате деления единицы на это число. Таким образом, ОЗ: y ≠ 0.
3) Корни: Для нахождения корней функции, приравняем ее к нулю: 1/(x-3) = 0. Умножаем обе части уравнения на (x-3): 1 = 0(x-3). Получаем 1 = 0, что является неверным утверждением. Таким образом, функция f(x) = 1/(x-3) не имеет корней.

Совет: Для определения ОДЗ функции, обратите внимание на те значения аргумента, при которых функция может стать неопределенной или возникнуть деление на ноль. Для определения ОЗ функции, анализируйте, какие значения может принимать функция при всех возможных значениях аргумента из ОДЗ. Для нахождения корней функции, решите уравнение, приравняв функцию к нулю.

Закрепляющее упражнение: Найдите ОДЗ, ОЗ и корни функции g(x) = √(4-x^2).

Тема вопроса: Определение области допустимых значений, области значений и корней функций

Разъяснение:

Область допустимых значений (ОДЗ) функции - это множество значений, которые может принимать независимая переменная (обычно обозначается как x), а функция остаётся определенной и не выходит за пределы.

Чтобы определить ОДЗ, нужно учесть такие ограничения, как:

1. Знаменатель не может быть равен нулю в случае дробной функции.
2. Аргумент под корнем не может быть отрицательным в случае квадратичной функции.
3. Логарифм не может иметь отрицательный или нулевой аргумент, поэтому под логарифмом должно быть выражение больше нуля.

Область значений (ОЗ) функции - это множество значений, которые может принимать зависимая переменная (обычно обозначается как y), при условии, что все значения независимой переменной (x) лежат в области допустимых значений функции.

Корни функции - это значения независимой переменной (x), при которых функция равна нулю. Корни можно найти, приравняв функцию к нулю и решив полученное уравнение.

Дополнительный материал:
У нас есть функция f(x) = (x+3) / (x-5). Чтобы определить ОДЗ, мы должны учесть следующие ограничения:
1. Знаменатель (x-5) не может быть равен нулю, поэтому x ≠ 5.
Таким образом, ОДЗ функции f(x) = (-∞, 5) ∪ (5, +∞).
Для определения ОЗ мы должны учесть, что все значения независимой переменной (x), с учётом ограничений ОДЗ, делятся ненулевой числитель на ненулевой знаменатель.
Для поиска корней функции, мы должны приравнять функцию к нулю:
(x+3) / (x-5) = 0. Решив это уравнение, мы найдем корень x = -3.
Таким образом, корень функции f(x) = -3.

Совет: При определении ОДЗ, обратите внимание на ограничения, связанные с дробными функциями и корнями. Перед тем, как определить ОЗ, убедитесь, что все значения переменной x находятся в ОДЗ. Для поиска корней функции, приравняйте функцию к нулю и решите полученное уравнение.

Задача на проверку: Найдите ОДЗ, ОЗ и корни функции g(x) = √(2x + 4) / (x - 1).