Как называется точка, в которой производная f (x) меняет свой знак с положительного на отрицательный? * 1 критическая

Название: Критическая точка, минимум и максимум

Разъяснение: Критическая точка в математике - это точка на графике функции, где производная второго порядка (f"(x)) меняет свой знак с положительного на отрицательный или наоборот. Это может представлять собой точку, где функция достигает локального минимума или максимума.

Чтобы понять, как найти критические точки и определить, являются ли они минимумами или максимумами, можно использовать следующие шаги:

1. Найдите производную функции f(x).
2. Решите уравнение f"(x) = 0 для определения критических точек.
3. Для каждой критической точки найдите вторую производную f"(x).
4. Проанализируйте знаки второй производной f"(x) вокруг каждой критической точки.
- Если f"(x) положительна слева от критической точки и отрицательна справа, то это локальный максимум.
- Если f"(x) отрицательна слева от критической точки и положительна справа, то это локальный минимум.

Пример:
Дана функция f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x. Найдите критические точки и определите, являются ли они минимумами или максимумами.

Решение:
1. Найдем производную функции f(x):
f"(x) = 3x^2 - 6x - 9.
2. Решим уравнение f"(x) = 0:
3x^2 - 6x - 9 = 0.
Факторизуем это уравнение и получим:
(3x + 3)(x - 3) = 0.
Из этого уравнения мы видим, что x = -1 и x = 3 - критические точки.
3. Найдем вторую производную:
f"(x) = 6x - 6.
4. Проанализируем знаки второй производной вокруг критических точек:
- При x < -1: f"(x) < 0. Значит, слева от x = -1 функция убывает.
- При -1 < x < 3: f"(x) > 0. Значит, функция возрастает.
- При x > 3: f"(x) > 0. Значит, функция возрастает.

Итак, у нас есть две критические точки: x = -1 и x = 3. С учетом знаков второй производной, мы можем сделать вывод:
- При x = -1 функция имеет локальный максимум.
- При x = 3 функция имеет локальный минимум.

Совет: Чтобы лучше понять эту тему, рекомендуется изучить основы дифференциального исчисления, включая понятия производной, экстремумов и шаги для определения критических точек.

Задача на проверку: Найдите критические точки и определите, являются ли они минимумами или максимумами для функции f(x) = 2x^3 - 6x^2 - 18x + 8.