Как найти значения sin 167°, cos 215°, tg 135° и ctg 240° на окружности?

Тема урока: Тригонометрические функции

Пояснение:
Тригонометрия - это раздел математики, который изучает взаимосвязь между углами и сторонами треугольников. В частности, тригонометрические функции (синус, косинус, тангенс и котангенс) используются для вычисления отношений между углами и сторонами в прямоугольных треугольниках.

Для нахождения значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса углов на окружности, мы можем использовать теорему Пифагора и отношения между сторонами треугольника.

1. Синус (sin): Синус угла равен отношению противолежащей стороны к гипотенузе треугольника. Значение синуса может находиться в диапазоне от -1 до 1.

2. Косинус (cos): Косинус угла равен отношению прилежащей стороны к гипотенузе треугольника. Значение косинуса также может находиться в диапазоне от -1 до 1.

3. Тангенс (tg): Тангенс угла равен отношению противолежащей стороны к прилежащей стороне треугольника. Значение тангенса может быть любым рациональным числом.

4. Котангенс (ctg): Котангенс угла равен обратному отношению тангенса угла. Значение котангенса также может быть любым рациональным числом.

Дополнительный материал:
Для нахождения значений sin 167°, cos 215°, tg 135° и ctg 240° на окружности, мы должны использовать следующие формулы:

1. sin 167° = sin (167° - 180°) = -sin 13° (используем периодичность синуса)
2. cos 215° = cos (215° - 180°) = -cos 35° (используем периодичность косинуса)
3. tg 135° = tg (135° - 180°) = -tg 45° = -1 (используем периодичность тангенса)
4. ctg 240° = ctg (240° - 180°) = ctg 60° = √3 (используем периодичность котангенса)

Таким образом, значения sin 167°, cos 215°, tg 135° и ctg 240° на окружности равны -sin 13°, -cos 35°, -1 и √3 соответственно.

Совет: Запомните основные значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса для наиболее распространенных углов (0°, 30°, 45°, 60° и 90°). Это поможет вам быстро находить значения этих функций при вычислениях.

Задача для проверки: Найдите значения sin 120°, cos 270°, tg 60° и ctg 45° на окружности.

Содержание вопроса: Тригонометрические функции на окружности
Разъяснение:
Тригонометрические функции (синус, косинус, тангенс и котангенс) могут быть вычислены на основе геометрических свойств окружности. Для вычисления значений тригонометрических функций на окружности, мы используем треугольники, образованные радиусом окружности и линиями, проходящими через начало радиуса и точку, на которую смотрим.

1. Синус (sin): синус угла определяется как отношение противолежащего катета (perpendicular) к гипотенузе прямоугольного треугольника, где угол измеряется от положительного направления оси x до радиуса. Значение sin всегда варьируется от -1 до 1.

2. Косинус (cos): косинус угла определяется как отношение прилежащего катета (base) к гипотенузе прямоугольного треугольника, где угол измеряется от положительного направления оси x до радиуса. Значение cos всегда варьируется от -1 до 1.

3. Тангенс (tg): тангенс угла определяется как отношение противолежащего катета (perpendicular) к прилежащему катету (base) прямоугольного треугольника, где угол измеряется от положительного направления оси x до радиуса.

4. Котангенс (ctg): котангенс угла определяется как отношение прилежащего катета (base) к противолежащему катету (perpendicular) прямоугольного треугольника, где угол измеряется от положительного направления оси x до радиуса.

Например:
Угол 167° лежит в третьей четверти. Используя обратное соотношение для синуса, мы получаем sin 167° = -sin(180° - 167°) = -sin 13°.
Аналогично, для tg 135°:
tg 135° = -tg(180° - 135°) = -tg 45° = -1.
Для cos 215°:
cos 215° = cos(180° + 35°) = -cos 35°.
И, наконец, для ctg 240°:
ctg 240° = -ctg(240° - 180°) = -ctg 60° = -√3.

Совет:
Для вычисления значений тригонометрических функций на окружности важно помнить, в какой четверти угол лежит, так как значения могут быть положительными или отрицательными в зависимости от четверти. Обратите внимание на основные углы и используйте соответствующие тригонометрические соотношения для нахождения значений.

Дополнительное упражнение:
Найдите значения следующих тригонометрических функций на окружности: sin 60°, cos 225°, tg 330° и ctg 120°.