Как найти значение выражения 80(3‾√+1)∫π20π10sin(10x+π3)dx?

Тема: Вычисление определенного интеграла

Пояснение: Для решения данной задачи, нам необходимо разбить процесс вычисления на несколько шагов:

1. Раскроем скобку, умножив каждый член внутри скобки на 80: 80 * 3√ + 80 * 1.
2. Вычислим значение подкоренного выражения 3√: √3 = 1,732.
3. Упростим полученное выражение: 80 * 1,732 + 80 * 1 = 138,56 + 80 = 218,56.
4. Теперь нам нужно вычислить определенный интеграл от функции sin(10x+π/3) в пределах от π/20 до π/10. Мы можем использовать формулу определенного интеграла: ∫a^b f(x) dx = F(b) - F(a), где F(x) - это первообразная функция от f(x).
5. Чтобы найти первообразную функцию F(x) = -1/10cos(10x+π/3), возьмем производную от sin(10x+π/3) и умножим ее на -1/10.
6. Теперь вычисляем конечное значение интеграла: F(π/10) - F(π/20) = [-1/10cos(10(π/10)+π/3)] - [-1/10cos(10(π/20)+π/3)].
7. Заменим значения внутри косинуса и произведем вычисления: [-1/10cos(π+π/3)] - [-1/10cos(π/2+π/3)].
8. Упрощаем выражение и рассчитываем значения косинусов: [-1/10cos(4π/3)] - [-1/10cos(5π/6)].
9. Заменяем значения косинусов: [-1/10*(-1/2)] - [-1/10*(√3/2)].
10. Производим вычисления и упрощение выражения: 1/20 + √3/20.

Демонстрация: Найдите значение выражения 80(3‾√+1)∫π/20π/10sin(10x+π/3)dx.

Совет: Чтобы более понятно учиться вычислению определенных интегралов, полезно изучить основные свойства и формулы. Вы также можете обратиться к таблице стандартных интегралов, чтобы лучше понять, как вычислять определенные интегралы различных функций.

Ещё задача: Найдите значение определенного интеграла ∫[1, 3] (2x + 1) dx.

Название: Вычисление значения выражения с интегралом

Разъяснение: Чтобы найти значение данного выражения, нам нужно последовательно выполнить несколько шагов. Вначале мы должны вычислить значение промежуточных выражений в скобках и в интеграле. Затем мы умножаем результаты и получаем окончательный ответ.

1. Вычисление значения подкоренного выражение: 3√+1.
- Возведем число 3 в степень 1/3 (или найдем кубический корень из 3): 3^(1/3) ≈ 1.44225.
- Прибавим 1: 1 + 1 = 2.

2. Вычисление значения интеграла: ∫π20 π10 sin(10x + π/3)dx.
- Заметим, что интеграл синуса имеет период 2π. Таким образом, можно разделить интеграл на две части, чтобы учесть периодическость функции.
- Значение интеграла от 0 до 2π равно 0, так как синус функции будет равен 0 на этих границах.
- Для интеграла от 0 до π, мы можем использовать формулу интеграла: -cos(10x + π/3) / 10, где производная sin(10x + π/3) равна cos(10x + π/3).
- Подставляем значения границ интегрирования и вычисляем значения: (-cos(10π + π/3) / 10) - (-cos(0 + π/3) / 10) ≈ 0.4654.

3. Вычисление окончательного значения выражения: 80(2) * 0.4654.
- Сначала умножаем число под знаком корня на 80: 80 * 2 = 160.
- Затем умножаем полученное значение на результат интеграла: 160 * 0.4654 ≈ 74.464.

Пример: Методом выше мы можем вычислить значение выражения 80(3√+1)∫π20π10sin(10x+π3)dx, и получим приближенный ответ, равный 74.464.

Совет: При работе с подобными выражениями важно разбить задачу на несколько промежуточных шагов, чтобы упростить решение. Отдельное внимание нужно уделить вычислениям внутри скобок и пониманию свойств функций, таких как синус и корень.

Практика: Найдите значение выражения 20(8√+1)∫0π2π3cos(3x + π/4)dx.