Как найти решения уравнения с положительным дискриминантом (2ax+b)²=d в математике?

Тема: Решение уравнения с положительным дискриминантом

Объяснение: Чтобы найти решения уравнения с положительным дискриминантом вида (2ax+b)²=d, мы должны использовать метод раскрытия скобок и решить получившееся квадратное уравнение.
Для начала, раскроем скобки в (2ax+b)².
(2ax+b)² = (2ax+b)(2ax+b) = (2ax)² + 2axb + (b)²
Теперь у нас есть выражение (2ax)² + 2axb + (b)² = d.
Далее, соберем все слагаемые в одну сторону уравнения, чтобы получить квадратное уравнение. Обычно мы делаем это вычитанием d из обеих сторон:
(2ax)² + 2axb + (b)² - d = 0
Теперь у нас есть квадратное уравнение вида Ax² + Bx + C = 0, где:
A = 4a², B = 2ab, C = (b)² - d.
Решим это квадратное уравнение, используя известную формулу дискриминанта и методы решения квадратных уравнений.

Пример использования: Пусть у нас дано уравнение (2x+3)² = 16. Требуется найти все его решения.
Решение:
1. Раскроем скобки: (2x+3)² = (2x)² + 2(2x)(3) + (3)² = 4x² + 12x + 9 = 16.
2. Соберем все слагаемые в одну сторону и получим квадратное уравнение: 4x² + 12x + 9 - 16 = 0.
3. Упростим это уравнение: 4x² + 12x - 7 = 0.
4. Используем формулу дискриминанта: D = B² - 4AC = (12)² - 4(4)(-7) = 144 + 112 = 256.
5. Так как дискриминант D положительный (D > 0), у нас есть два различных рациональных решения.
6. Решим квадратное уравнение: x₁ = (-B + √D) / (2A), x₂ = (-B - √D) / (2A).
Подставим значения: x₁ = (-12 + √256) / (2*4) = (-12 + 16) / 8 = 4/8 = 1/2.
x₂ = (-12 - √256) / (2*4) = (-12 - 16) / 8 = -28/8 = -7/2.
Таким образом, уравнение (2x+3)² = 16 имеет два решения: x₁ = 1/2 и x₂ = -7/2.

Совет: Для успешного решения уравнений с положительным дискриминантом, регулярная практика очень важна. Решение множества уравнений поможет вам стать более уверенным в использовании формул и методов решения. Рекомендуется также изучить основные правила раскрытия скобок и упрощения уравнений.

Упражнение: Решите уравнение (3x+5)² = 49 и найдите его решения.