Как найти решения для уравнения: f(x)=1 при x≠0, f(x)+2f(1/x)=3x?

Тема: Решение уравнений с использованием подстановки

Описание: Чтобы найти решение уравнения, нам требуется систематичный подход. Данное уравнение содержит функцию f(x) и дополнительное условие для f(x) при x≠0. Мы можем использовать подстановку для решения.

Шаг 1: Подставим x=1/x в уравнение f(x)+2f(1/x)=3x. Получим:

f(1/x) + 2f(x) = 3/x

Шаг 2: Домножим оба выражения на x, чтобы избавиться от дробей:

x*f(1/x) + 2xf(x) = 3

Шаг 3: Теперь сложим два уравнения, чтобы избавиться от неизвестных f(x) и f(1/x):

f(x) + 2f(x) = 3x - x*f(1/x)

Шаг 4: Упростим получившееся выражение:

3f(x) = 3x - x*f(1/x)

Шаг 5: Разделим обе части уравнения на 3:

f(x) = x - (x/3)*f(1/x)

Шаг 6: Теперь можно использовать условие изначального уравнения f(x) = 1 при x≠0 для нахождения значения f(1/x):

1 = x - (x/3)*f(1/x)

Шаг 7: Решим это уравнение относительно f(1/x):

(x/3)*f(1/x) = x - 1

f(1/x) = (3x - 3)/x

Шаг 8: Таким образом, мы нашли значение f(1/x), зная x. Мы можем использовать это значение для нахождения f(x).

Доп. материал: Найдем решение уравнения при x=2:

1. Подставляем x=2 в исходное уравнение: f(2)+2f(1/2)=6.
2. Используем найденное значение f(1/2) = (3*2 - 3)/2 = 6/2 - 3/2 = 3/2.
3. Подставляем f(1/2) в уравнение: f(2) + 2*(3/2) = 6.
4. Решаем получившееся уравнение: f(2) + 3 = 6, f(2) = 6 - 3 = 3.
Таким образом, решение уравнения f(x) = 1 при x≠0 и f(x) + 2f(1/x) = 3x, при x=2, будет f(2) = 3.

Совет: При решении уравнений с использованием подстановки, важно следовать систематичному подходу и выполнять каждую операцию пошагово. Также, не забудьте проверить полученные решения подставив их обратно в исходное уравнение.

Упражнение: Найдите решение уравнения при x=-1.