Как найти решение уравнения C^3_n = (4/15) C^4_n?

Алгебра: Решение уравнения C^3_n = (4/15) C^4_n

Разъяснение: Дано уравнение C^3_n = (4/15) C^4_n, где C^3_n и C^4_n представляют собой биномиальные коэффициенты.
Поставим задачу в терминах комбинаторики. C^3_n представляет собой число сочетаний из n элементов, выбранных по 3. А C^4_n - число сочетаний из n элементов, выбранных по 4.


Для решения уравнения, мы можем использовать свойство биномиальных коэффициентов, которое заключается в следующем:

C^k_n = (n!) / (k!(n-k)!), где n! обозначает факториал n.


Подставим это свойство в исходное уравнение:

(n!) / (3!(n - 3)!) = (4/15) * (n!) / (4!(n - 4)!)


Сократим общие множители:

1 / (3!(n - 3)!) = (4/15) / (4!(n - 4)!)


Сократим дальше:

1 / (3 * 2 * 1 * (n - 3)!) = (4/15) / (4 * 3 * 2 * 1 * (n - 4)!)


Упростим:

1 / (3 * (n - 3)!) = (1/5) / (n - 4)!


Перемножим оба выражения на (n - 3)! и (n - 4)!:

(n - 4)! = (1/5) * (3 * (n - 3)!)
(n - 4)! = (3/5) * ((n - 3)!)


Теперь сократим (n - 3)! с обеих сторон и перепишем уравнение:

(n - 4)! = (3/5) * ((n - 3)!)
(n - 4)! / ((n - 3)!) = 3/5


Так как (n - 4)! / ((n - 3)!) = (n - 4), заменим эквивалентные значения:

n - 4 = 3/5


Теперь найдем значение n, выразив его:

n = 3/5 + 4
n = 15/5 + 4
n = 19/5


Пример: Найдите решение уравнения C^3_n = (4/15) C^4_n.

Совет: Обратите внимание на правила сокращения и эквивалентные значения при решении уравнения.

Задача на проверку: Найти решение уравнения C^2_n = (1/6)C^3_n.