Как найти решение тригонометрического уравнения: 5 - 8cos^2x = sin2x

Тема урока: Решение тригонометрического уравнения

Объяснение:
Для решения данного тригонометрического уравнения, мы будем использовать тригонометрические тождества и алгебраические преобразования, чтобы привести его к более простому виду и найти решение.

1. Заменим значение sin2x и cos^2x с использованием тригонометрических тождеств:

уравнение: 5 - 8cos^2x = sin2x

sin2x = 2sinxcosx (тригонометрическое тождество)

уравнение принимает вид: 5 - 8cos^2x = 2sinxcosx

2. Перенесем все члены уравнения в одну сторону:

2sinxcosx + 8cos^2x - 5 = 0

уравнение стало квадратным: 8cos^2x + 2sinxcosx - 5 = 0

3. Решим полученное квадратное уравнение с помощью факторизации или квадратного трехчлена.

Для удобства, обозначим cosx как t, уравнение примет вид:

8t^2 + 2sint*t - 5 = 0

Факторизуем уравнение находим его корни:

(4t + 5)(2t - 1) = 0

Из этого получаем два уравнения:

4t + 5 = 0 => t = -5/4

2t - 1 = 0 => t = 1/2

Теперь найдем значения cosx, подставив обратно t:

cosx = -5/4, cosx = 1/2

4. Найдем значения углов x, используя функцию обратную косинуса:

x1 = arccos(-5/4) (косинус значения -5/4 вне диапазона [-1, 1], поэтому корней нет)

x2 = arccos(1/2) = π/3 + 2πn, где n - целое число

Таким образом, решение данного тригонометрического уравнения будет x = π/3 + 2πn, где n - целое число.

Дополнительный материал:
Требуется найти решение тригонометрического уравнения: 5 - 8cos^2x = sin2x.

Совет:
Для лучшего понимания тригонометрических уравнений, рекомендуется изучить тригонометрические тождества и уметь применять их при решении уравнений.

Проверочное упражнение:
Найдите решение уравнения: 2sin^2x + sinx - 1 = 0.