Как найти решение дифференциального уравнения первого порядка, tg t dt + ds s=0?

Тема урока: Дифференциальное уравнение первого порядка

Пояснение: Для решения данного дифференциального уравнения первого порядка нужно использовать метод разделения переменных. Давайте рассмотрим его подробнее.

1. Перепишем уравнение: tg(t) dt + ds/dt = 0.
2. Разделим переменные, переместив все слагаемые, содержащие dt, в одну сторону уравнения, а все слагаемые, содержащие ds, в другую сторону. Получим: tg(t) dt = -ds/dt.
3. Теперь проинтегрируем обе части уравнения. Мы можем интегрировать левую и правую части по отдельности: ∫(tg(t) dt) = -∫(ds/dt).
4. Интеграл ∫(tg(t) dt) можно найти с использованием тригонометрической замены: заменим tg(t) на sin(t)/cos(t) и применим подстановку. Получится ∫(sin(t)/cos(t) dt).
5. Для интегрирования этого выражения воспользуемся заменой переменной: пусть z = cos(t). Тогда dz = -sin(t) dt.
6. Заменим переменные в интеграле и получим: ∫(sin(t)/cos(t) dt) = ∫(-dz/z).
7. Интеграл ∫(-dz/z) равен -ln|z| + C, где C – константа интегрирования.
8. Теперь проинтегрируем правую часть: -∫(ds/dt) = -s + D, где D – еще одна константа интегрирования.
9. Таким образом, мы получили решение в виде: -ln|z| = -s + D.
10. Но мы можем заменить z обратно на его исходное значение cos(t): -ln|cos(t)| = -s + D.

Например: Решите дифференциальное уравнение tg(t) dt + ds/dt = 0.

Совет: Для успешного решения дифференциальных уравнений первого порядка, вам нужно быть знакомым с методом разделения переменных и уметь проводить интегрирование. Для более сложных уравнений возможно потребуется использование других методов, таких как метод вариации произвольной постоянной или метод Лагранжа.

Ещё задача: Решите дифференциальное уравнение ds/dt = t + 1.