Как найти первообразную для функции у= 4+cosx, которая проходит через точку М(π/6)?

Тема занятия: Нахождение первообразной функции с использованием начальных условий.

Объяснение: Чтобы найти первообразную функции, необходимо проинтегрировать данную функцию по переменной x. В данном случае функция у= 4+cosx. Интегрирование представляет собой операцию обратную дифференцированию, которая позволяет найти функцию, производной которой является исходная функция.

Для начала проинтегрируем функцию 4+cosx по переменной x. Интегрирование константы 4 даст 4x, а интегрирование cosx даст sinx. Получаем: ∫(4+cosx)dx = 4x + sinx + C, где C - произвольная постоянная.

Дана также точка M(π/6), через которую проходит первообразная функции. Для определения конкретной функции найдем значение постоянной С. Подставим в уравнение точку M(π/6), получим: π/6 = 4(π/6) + sin(π/6) + C

Решив это уравнение, найдем значение постоянной С: C = π/6 - (2π/3 + 1/2)

Таким образом, искомая первообразная функции у= 4+cosx, проходящая через точку M(π/6), будет иметь вид: F(x) = 4x + sinx + π/6 - (2π/3 + 1/2)

Совет: Для лучшего понимания материала по интегрированию и нахождению первообразных функций, рекомендуется изучить методы интегрирования и свойства элементарных функций. Практикуйтесь в решении различных задач и ставьте вопросы, если что-то непонятно.

Ещё задача: Найдите первообразную функции y = 3x² + 2sinx - 7, используя начальное условие y(0) = 5.

Тема урока: Первообразная функции

Объяснение: Первообразная функции позволяет нам найти функцию, производная которой равна заданной исходной функции. В данном случае у нас задана функция у=4+cosx, и мы ищем ее первообразную.

Чтобы найти первообразную этой функции, мы будем использовать формулу интеграла от суммы функций. Для этого пошагово проделаем следующие действия:

1. В первую очередь найдем первообразную члена 4. Поскольку производная константы равна нулю, первообразной будет функция 4x, где x - переменная.

2. Затем рассмотрим первообразную функции cosx. Интеграл от cos(x) можно найти с помощью формулы интеграла от синуса: ∫ cos(x) dx = sin(x) + C, где С - произвольная постоянная.

3. Собираем все вместе, добавляя произвольную постоянную С: первообразная для функции у=4+cosx будет F(x) = 4x + sin(x) + C.

Дополнительный материал: Найти первообразную для функции у=4+cosx, проходящую через точку M(π/6).

Для решения этой задачи, мы используем найденную первообразную F(x) = 4x + sin(x) + C. Подставим значение x=π/6 и точку M(π/6) в эту формулу:

F(π/6) = 4(π/6) + sin(π/6) + C

Теперь подставим значения в формулу и вычислим:

F(π/6) = (4/6)π + (1/2) + C

Получившееся значение F(π/6) будет являться первообразной функции, проходящей через точку M(π/6).

Совет: Чтобы лучше понять процесс нахождения первообразной функции, рекомендуется изучить различные методы интегрирования и научиться работать с основными формулами. Практика в решении интегралов также поможет улучшить ваши навыки.

Практика: Найдите первообразную для функции у=2+sinx.