Как можно упростить следующее выражение: 2*sin4a*sin5a+cos9a?

Суть вопроса: Упрощение выражения с тригонометрическими функциями

Инструкция:
Для упрощения данного выражения мы будем использовать тригонометрические тождества.

1. Начнем с упрощения множителей:
- Найдем значение sin(4a) и sin(5a) с помощью следующих тождеств:
- sin(2a) = 2sin(a)cos(a)
- sin(3a) = 3sin(a) - 4sin^3(a)
- Подставим найденные значения, получим:
- 2 * (2sin(a)cos(a)) * (3sin(a) - 4sin^3(a)) + cos(9a)

2. Упростим множители:
- Распишем умножение и сократим подобные слагаемые:
- 12sin^2(a)cos(a) - 16sin^4(a)cos(a) + cos(9a)

3. Используем формулу синуса суммы двух углов:
- sin(x + y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)
- Заменим cos(9a) на sin(a + 8a):
- 12sin^2(a)cos(a) - 16sin^4(a)cos(a) + sin(a + 8a)

4. Упростим выражение:
- При помощи формулы двойного угла sin(2a):
- 12sin^2(a)cos(a) - 16sin^4(a)cos(a) + sin(a)cos(8a) + cos(a)sin(8a)

5. Используем формулу синуса разности двух углов:
- sin(x - y) = sin(x)cos(y) - cos(x)sin(y)
- Заменим sin(8a) на sin(a - 7a):
- 12sin^2(a)cos(a) - 16sin^4(a)cos(a) + sin(a)cos(8a) + cos(a)sin(a - 7a)

6. Упростим выражение:
- При помощи формулы синуса двойной суммы и формулы косинуса двойной разности:
- 12sin^2(a)cos(a) - 16sin^4(a)cos(a) + (sin(a)cos(a)cos(7a) - cos(a)sin(a)sin(7a))

7. Упростим выражение:
- Переставим множители:
- 12sin^2(a)cos(a) - 16sin^4(a)cos(a) + (cos(7a)sin(a)cos(a) - sin(7a)sin(a)cos(a))

8. Упростим выражение:
- При помощи формулы синуса двойной суммы и формулы косинуса двойной разности:
- 12sin^2(a)cos(a) - 16sin^4(a)cos(a) + cos(7a)sin(2a) - sin(7a)sin(2a)

9. Упростим выражение:
- Заменим sin(2a) на 2sin(a)cos(a) и упростим:
- 12sin^2(a)cos(a) - 16sin^4(a)cos(a) + 2cos(7a)sin(a)cos(a) - 2sin(7a)sin(a)cos(a)

10. Упростим выражение:
- Поделим каждый множитель на cos(a) и упростим:
- 12sin^2(a) - 16sin^4(a) + 2cos(7a)sin(a) - 2sin(7a)sin(a)

Таким образом, выражение 2*sin(4a)*sin(5a) + cos(9a) упрощается до 12sin^2(a) - 16sin^4(a) + 2cos(7a)sin(a) - 2sin(7a)sin(a).

Пример:

Упростите выражение: 2*sin(4a)*sin(5a) + cos(9a)

Совет:
При упрощении выражений с тригонометрическими функциями, полезно знать различные тригонометрические формулы, такие как формулы синуса, косинуса, суммы и разности углов. Также стоит помнить о правилах упрощения выражений с множителями и сложениями.

Дополнительное задание:
Упростите выражение: 3*cos^2(x) - 2*sin^2(x) + 4*sin(x)*cos(x)

Тема занятия: Упрощение выражения с тригонометрическими функциями

Объяснение:
Для упрощения данного выражения, мы можем использовать тригонометрические тождества и формулы. Здесь мы имеем произведение синусов и косинуса.

Прежде всего, мы можем воспользоваться формулами двойного угла:
- `sin(2a) = 2sin(a)*cos(a)`
- `cos(2a) = cos^2(a) - sin^2(a)`

А также тригонометрическими формулами сложения:
- `sin(a + b) = sin(a)*cos(b) + cos(a)*sin(b)`
- `cos(a + b) = cos(a)*cos(b) - sin(a)*sin(b)`

Применим данные формулы к заданному выражению:

2*sin(4a)*sin(5a) + cos(9a)

Заменим sin(4a) и sin(5a) с использованием формулы сложения:
2*[sin(2a)*cos(2a)]*[sin(a + 4a)]
2*[sin(2a)*cos(2a)]*[sin(6a)]

Теперь упростим cos(2a), с помощью формулы двойного угла:
2*[2sin(a)*cos(a)]*[sin(6a)]
4sin(a)*cos(a)*sin(6a)

Используем формулу сложения:
4sin(a)*cos(a)*[sin(a + 5a)]
4sin(a)*cos(a)*sin(7a)

Теперь мы достигли упрощенного вида заданного выражения, которое выглядит следующим образом:
4sin(a)*cos(a)*sin(7a)

Доп. материал:
Упростите выражение 2*sin(4a)*sin(5a) + cos(9a).

Совет:
При решении задач с упрощением тригонометрических выражений, полезно знать основные тригонометрические тождества и формулы. Постарайтесь понять, как эти формулы могут быть применены к данному выражению, и ищите возможности для упрощения их с помощью этой информации.

Упражнение:
Упростите следующее выражение: cos(2x)*cos(3x) - sin(2x)*sin(3x)