Из каких векторов строится базис пространства решений данного однородного уравнения х1+2х2+3х3+х4=0?

Линейное пространство: понятие базиса

Инструкция: Чтобы понять, из каких векторов строится базис пространства решений данного однородного уравнения, мы должны рассмотреть понятие линейного пространства и базиса.

Линейное пространство - это множество объектов, в данном случае векторов, для которого определены операции сложения и умножения на число, и которые удовлетворяют определенным свойствам, таким как замкнутость относительно операций и выполнение определенных аксиом.

Базис - это минимальное подмножество векторов линейного пространства, которые линейно независимы и способны породить (представить) все остальные векторы данного пространства. Базис является основой или фундаментом для последующей работы с векторами.

В данном случае мы имеем однородное уравнение х1+2х2+3х3+х4=0. Чтобы найти базис пространства его решений, необходимо решить уравнение и записать его общее решение в виде линейной комбинации параметров (свободных переменных), умноженных на векторы. Количество свободных переменных будет определять размерность пространства решений и количество базисных векторов.

Например:

Уравнение: x1 + 2x2 + 3x3 + x4 = 0

Решение:
1. Выразим x4 через свободные переменные:
x4 = -x1 - 2x2 - 3x3
2. Общее решение уравнения:
(-x1 - 2x2 - 3x3, x1, x2, x3) = x1 * (-1, 1, 0, 0) + x2 * (-2, 0, 1, 0) + x3 * (-3, 0, 0, 1)

Таким образом, базисом пространства решений данного однородного уравнения являются векторы (-1, 1, 0, 0), (-2, 0, 1, 0) и (-3, 0, 0, 1).

Совет: Чтобы лучше понять понятие базиса пространства решений и его построение, рекомендуется изучить материалы об линейных пространствах, базисах и свободных переменных в линейных уравнениях. Решайте практические задачи для закрепления полученных знаний.

Дополнительное задание: Найдите базис пространства решений для уравнения 2x1 - 4x2 + 6x3 = 0.