Где на параболе x^2=9y абсцисса изменяется в два раза быстрее, чем ордината? (ответ: (9/4, 9/16

Тема урока: Парабола и соотношение изменения абсциссы и ординаты

Объяснение:
Для решения этой задачи нам нужно найти соотношение между изменениями абсциссы и ординаты на заданной параболе. Дано, что изменение абсциссы происходит в два раза быстрее, чем изменение ординаты.

Парабола дана уравнением x^2 = 9y, где x - абсцисса, y - ордината.
Чтобы найти соотношение, мы можем использовать производные функций x и y по переменной t (обычно выбирают t для параметризации параболы).

Найдем производные:

dx/dt = (d/dt)(9yt^2) = 18yt

dy/dt = (d/dt)(t^2) = 2t

Затем рассмотрим соотношение величин dx/dt и dy/dt:

(dx/dt)/(dy/dt) = (18yt)/(2t) = 9y

Из условия задачи, что изменение абсциссы происходит в два раза быстрее, чем изменение ординаты, получаем:

(dx/dt)/(dy/dt) = 2

Подставляем значение dx/dt и dy/dt в это соотношение:

9y = 2

Решаем уравнение относительно y:

y = 2/9

Теперь найдем соответствующую абсциссу x. Подставляем найденное значение y в исходное уравнение параболы:

x^2 = 9 * (2/9)
x^2 = 2
x = ±√2

Таким образом, получаем ответ: (±√2, 2/9) или (±1.41, 0.22).

Совет:
Для лучшего понимания понятий параболы и производной функции, можно провести дополнительные исследования и прочитать материалы о них. Упражнение в пошаговом представлении решения задачи с использованием производных обязательно поможет лучше понять соотношение между изменениями абсциссы и ординаты на параболе.

Дополнительное упражнение:
Найдите точки на параболе y = x^2, где абсцисса изменяется в три раза быстрее, чем ордината.