Функция (1/x)*cos(1/x) является ли бесконечно большой при приближении x к нулю?

Суть вопроса: Граница функции

Объяснение: Чтобы определить, является ли функция (1/x)*cos(1/x) бесконечно большой при приближении x к нулю, мы можем проанализировать предел этой функции.

Предел функции f(x) при x стремящемся к a обозначается как lim(x→a) f(x). Если предел функции равен бесконечности, то говорят, что функция является бесконечно большой при данном приближении.

В данном случае, мы рассматриваем предел функции (1/x)*cos(1/x) при x стремящемся к нулю. Мы можем заметить, что при x стремящемся к нулю, значительное влияние на функцию оказывает часть (1/x), так как x подходит к нулю.

Чтобы определить предел этой функции, мы можем использовать правило Лопиталя (правило производной), которое говорит, что предел частного двух функций, у которых обе функции стремятся к нулю или бесконечности, будет равен пределу отношения их производных.

Производная функции (1/x) равна -1/x^2, а производная функции cos(1/x) равна sin(1/x) * (-1/x^2). Подставив эти значения в правило Лопиталя, получим:

lim(x→0) (1/x)*cos(1/x) = lim(x→0) (-1/x^2) * sin(1/x) * (-1/x^2)

Упрощая выражение, получим:

lim(x→0) (1/x)*cos(1/x) = lim(x→0) sin(1/x)/x^2

Теперь рассмотрим подытоживающие пределы отдельных частей функции при x стремящемся к нулю. Учитывая, что sin(1/x) ограничена от -1 до 1, а x^2 стремится к нулю при x стремящемся к нулю, мы можем сделать вывод, что:

lim(x→0) sin(1/x)/x^2 = 0

Таким образом, предел функции (1/x)*cos(1/x) при x стремящемся к нулю равен нулю. Следовательно, функция (1/x)*cos(1/x) не является бесконечно большой при приближении x к нулю.

Доп. материал: Найти предел функции (1/x)*cos(1/x) при x стремящемся к нулю.

Совет: Для понимания границ функций полезно изучить основные правила определения пределов, такие как правило Лопиталя, правило замены, правило арифметических действий с пределами и другие. Это позволит вам более глубоко понять и решать подобные задачи.

Задача на проверку: Найти предел функции (x^2 + 3x - 2)/(2x^2 + 5x - 3) при x стремящемся к 1.